Una definición levemente diferente es usada por algunos autores y existen otras formulaciones equivalentes de la definición; estas son discutidas a continuación.
Sea X un espacio topológico con topología T. Una subbase de T es usualmente definida como una subcolección B de T que satisface una de las dos siguientes condiciones equivalentes: Explícitamente, dado un punto x en un conjunto abierto propio U (vecindad de x) existen varios conjuntos finitos S1, …, Sn de B, tales que la intersección de estos conjuntos contiene a x y está contenida en U.
(Note que si usamos la definición de intersección no vacía, entonces no es necesario incluir X en la segunda definición.)
Para alguna subcolección S del conjunto de partes P(X), existe una única topología que tiene a S como una subbase.
En particular, la intersección de todas las topologías en X que contiene a S, satisface esta condición.
En general, no siempre existe una única subbase para una topología dada.
Por lo tanto, podemos comenzar con la topología fija y encontrar subbases para dicha topología, y podemos también comenzar con una subcolección arbitraria del conjunto de partes P(X) y formar la topología generada por esa subcolección.
Podemos libremente usar cualquiera de las definiciones equivalentes dadas anteriormente; ciertamente en muchos casos, una de las dos condiciones es más útil que la otra.
Algunas veces, una definición levemente diferente de subbase es dada, la cual requiere que la subbase B recubra a X.
En este caso, X es un conjunto abierto en la topología generada porque es la unión de todos los {Bi} mientras Bi varia sobre B.
Esto significa, que no pueden existir confusiones referentes al uso de la intersección no vacía, en la definición.
En otras palabras, existen espacio X con topología T, tales que existe una subcolección B de T, tal que T es la topología más pequeña que contiene a B, donde B no cubre a X todavía.
En la práctica, es una rara ocurrecia; una subbase de un espacio que satisface el T1 debe ser una cobertura de este espacio.
La topología usual en los números reales R tiene una subbase formada por todos los intervalos abiertos semi-infinitos de la forma
donde a y b son números reales.
Una segunda subbase es formada tomando la subfamilia donde a y b son racionales.
Esta segunda subbase también genera la topología usual, ya que los intervalos abiertos (a,b) con a, b racionales forman una base para la topología usual Euclidiana.
, donde a es un número real, no genera la topología usual.
La topología inicial definida por la familia de funciones fi : X → Yi, donde cada Yi tiene una topología, es la topología más gruesa en X, tal que cada fi es continua; ya que la continuidad puede ser definida por las imágenes inversas de los conjuntos abiertos; esto significa que la topología más débil en X es dada tomando todas las fi−1(Ui), donde Ui varia en todo el conjunto abierto de Yi, como una subbase.
La topología compacta abierta, en el espacio de funciones continuas de X a Y tiene por una subbase el conjunto de funciones donde K es un espacio compacto y U es abierto en Y.
existe una subcolección finita que cubre a
cubierta abierta (de conjuntos básicos) que no tiene una subcubierta finita.
{\displaystyle {\cal {F}}=\{{\mbox{las cubiertas abiertas de}}\ X\ {\mbox{que no tienen subcubiertas finitas}}\}.}
Este conjunto está parcialmente ordenado y cada subcolección de ésta que este totalmente ordenada tiene una cota superior.
una cubierta maximal, y esto implica que
es una cubierta abierta de básicos que no tiene subcubierta finita.
Afirmamos que al menos uno de los
y lo anterior implica que cubre a
es vacía y la suposición de que
Este lema permite una demostración del Teorema de Tíjonov.