formado por todos los subconjuntos de
Además, no es equipotente con la base.
[1][2] Siempre que el conjunto vacío no sea elemento de un conjunto, se cumple lo siguiente: El número de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del número de elementos en el conjunto original: El cardinal del conjunto potencia de un conjunto finito A es 2 elevado al cardinal de A: Esta relación es el origen de la notación 2A para el conjunto potencia.
Una manera de deducirla es mediante los coeficientes binomiales.
Si el conjunto A tiene n elementos, el número de subconjuntos con k elementos es igual al número combinatorio C(n, k).
Un subconjunto de A puede tener 0 elementos como mínimo, y n como máximo, y por lo tanto: Esta relación puede demostrarse también observando que el conjunto potencia de A es equivalente al conjunto de funciones con dominio A y codominio {0, 1}, f : A → {0, 1}.
Cada función corresponde entonces con un subconjunto, si se interpreta la imagen de un elemento como un indicador de si dicho elemento pertenece al subconjunto: 0 indica «no pertenece», 1 indica «pertenece».
El número de estas funciones características de A es precisamente 2n, si |A| = n. En el caso de un conjunto infinito la identificación entre subconjuntos y funciones es igualmente válida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a 2|A|, en términos de cardinales infinitos y su aritmética.
El conjunto potencia siempre tiene un cardinal superior al del conjunto original, como establece el teorema de Cantor, por lo que nunca existe una aplicación biyectiva entre un conjunto y su conjunto potencia.
En el caso general —incluyendo álgebras infinitas—, un álgebra de Boole es siempre isomorfa a una subálgebra de un conjunto potencia.
En teoría axiomática de conjuntos, la existencia del conjunto potencia en general no puede demostrarse a partir de propiedades más básicas, por lo que se postula a través de un axioma.
Sin este axioma no es posible demostrar la existencia de conjuntos no numerables.