Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes.Se tiene un conjunto con seis objetos diferentes {A, B, C, D, E, F}, de los cuales se desea escoger dos (sin importar el orden de elección).Estas precisiones cobrarán relevancia más adelante cuando se discutan generalizaciones del concepto (por ejemplo, cuando n o k sean negativos o cuando no sean números enteros).La definición combinatoria no permite calcular el valor de los coeficientes binomiales, salvo listando los subconjuntos y contándolos.Sin embargo, existe una fórmula explícita que nos proporciona el valor de C(n,k).Supongamos que el conjunto original tiene cinco elementos, de los cuales se deben escoger tres.Sin embargo, en tal conteo, el orden en que se escogen los elementos hace diferencia.Por tanto, las elecciones BCE, BEC, CEB, CBE, ECB y EBC son todas equivalentes.El argumento presentado para el ejemplo puede generalizarse de la siguiente forma.Ahora, hay que dividir el producto anterior entre el número de selecciones «equivalentes».Hay una fórmula recursiva para los coeficientes binomiales (véase El teorema de Pascal): dondeFinalmente, existe una tercera forma de definir los coeficientes binomiales, la cual da origen a su nombre.obtenemos: por tanto, al ser 10 el coeficiente de x³y², concluimos que C(5,3)=10.Para ilustrar la equivalencia entre esta definición y la anterior, consideremos un ejemplo con n=3, k=2.De esta forma, se pueden reescribir los bordes como: Finalmente, Pascal notó que las demás casillas del arreglo también son coeficientes binomiales: Cuando se listan las entradas de forma triangular como en la figura, es posible enunciar este resultado como La posición k (contando desde cero) en la fila n del triángulo de Pascal es igual al coeficiente binomialSupongamos ahora que el primer objeto se colorea de rojo y los demás azules.Para contar el primer caso, dado que el objeto rojo tiene que estar incluido, solo es necesario escoger dos objetos entre los cuatro azules restantes, lo cual puede efectuarse deEn el segundo caso, puesto que el objeto rojo no ha sido seleccionado, se debe escoger tres elementos entre los cuatro azules., es igual al número de subconjuntos del primer caso,sumado al número de subconjuntos incluidos en el segundo caso,, es decir: El caso general se obtiene de forma similar, marcando un elemento particular, para luego dividir el conteo en dos casos, dependiendo si el elemento marcado está incluido o no.Son de particular interés puesto que sus pruebas proporcionan nuevamente ejemplos de razonamiento combinatorio, el cual no es usualmente presentado al tratar el tema pues por lo general, en los pocos casos en que se dan razones sobre su origen, se limitan a simples manipulaciones de la definición algebraica.Es común remitirse a la fórmula de factoriales para verificar su veracidad.Por ejemplo, si n=5: Frecuentemente, la demostración de la identidad se reduce a «sustituir x=1, y=1 en el teorema de Newton», aunque tal prueba impide entender la idea central detrás del resultado.Supongamos que el conjunto original es {A, B, C, D, E}.La prueba del caso general con conjuntos de cualquier tamaño es directa.Para ilustrar el problema, consideremos el conjunto X={a, b, c, d}.Listemos todos los posibles multiconjuntos de tres elementos obtenidos del conjunto X.Dado que no importa el orden en que se reparten, podemos representar esta selección como Otra forma posible de repartir los caramelos podría ser: dar un caramelo a Alonso, ninguno a Beto y Carlos, los nueve restantes se los damos a Daniel.La solución del ejemplo anterior es conceptualmente correcta (da el resultado mediante una interpretación combinatoria) pero no es práctica ya que no proporciona realmente el número de formas en que se puede hacer la repartición.
Visualización de la expansión binomial hasta la 4ª potencia
. Hay por tanto 10 formas de escoger (en rojo) tres objetos a partir de un conjunto con cinco elementos.
Hay 5×4×3 formas de escoger ordenadamente tres objetos de un conjunto con cinco.
