Teorema del binomio

En matemáticas, el teorema del binomio es una fórmula que proporciona el desarrollo de laDe acuerdo con el teorema, es posible expandir la potenciaen una suma que implica términos de la formaCuando un exponente es cero, la correspondiente potencia es usualmente omitida del término.Este teorema establece que cualquier potencia de un binomio, utilizando los coeficientes del triángulo de Pascal se obtienen estos resultados: Isaac Newton generalizó la fórmula para exponentes reales, considerando una serie infinita: dondepuede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero, y los coeficientes están dados por el producto: La expansión para la potencia recíproca es la siguiente: La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejosEn general: En esta fórmula, la suma se toma sobre todos los valores enteros naturales desdetales que la suma de todos estos valores es igual aPor el teorema del binomio, esto es igual a: La fórmula anterior puede ser escrita usando la notación multi-índice como sigue: La Regla General de Leibniz proporciona laésima derivada del producto de dos funcionesde manera similar al teorema del binomio: En esta igualdad, el superíndicese cancela a ambos lados de la igualdad el factor comúny se obtiene el teorema del binomio.Según la fórmula de De Moivre: Usando el teorema del binomio, la expresión del lado derecho puede ser expandida y luego, las partes real e imaginaria son extraídas para obtener las fórmulas de los ángulos múltiples.Ya que: Comparando esta igualdad con la fórmula de De Moivre, queda claro que: las cuales son las identidades usuales del ángulo doble.De manera similar: Comparando con el enunciado de la fórmula de De Moivre, al separar las partes reales e imaginarias del resultado: En general, y El número e suele ser definido por la ecuación: Aplicando el teorema del binomio a esta expresión obtenemos la serie infinita paraEn particular: El k-ésimo término de esta suma es: Como el númeroAtribuido a Isaac Newton, el teorema fue en realidad descubierto por primera vez por Al-Karjí alrededor del año 1000.Aplicando los métodos de John Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita.Así estuvo en condiciones de demostrar que un gran número de series ya existentes eran casos particulares, bien por diferenciación, bien por integración.En el invierno de 1664 y 1665, Newton quien se encontraba en su hogar en Lincolnshire, extendió la expansión binomial en el caso en quePara ambos casos, se encontró con que la expresión resultante era una serie de infinitos términos.Para el caso de los exponentes negativos, Newton usó la forma escalonada del Triángulo de Pascal, la cual expuso el matemático alemán Michael Stifel en su obra Arithmetica Integra:[2]​Newton extendió esta tabla hacia arriba, hallando la diferencia entre el j-ésimo elemento en un renglón y el (j-1)-ésimo elemento del renglón por encima del anterior, colocando el resultado como el j-ésimo elemento de ese renglón superior.Así, fue capaz de obtener esta nueva tabla:, etc. Newton pudo comprobar, que si multiplicaba la expansión para[2]​ A partir de este descubrimiento, Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas del mismo modo que con expresiones polinómicas finitas.Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.se encuentra en los Elementos de Euclides (300 a. C.) y el término «coeficiente binomial» fue introducido por Stifel.