Teoría de conjuntos
Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica que permite formular de cualquier otra teoría matemática.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de algún cardinal inaccesible.
[2] El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas (puras) del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind.
[4] Además de su papel fundacional, la teoría de conjuntos también proporciona el marco para desarrollar una teoría matemática del infinito, y tiene varias aplicaciones en informática, filosofía y semántica formal.
Los temas matemáticos suelen surgir y evolucionar a través de las interacciones entre muchos investigadores.
Especialmente notable es el trabajo de Bernard Bolzano en la primera mitad del siglo XIX.
[7] La comprensión moderna del infinito comenzó en 1870-1874, y fue motivada por el trabajo de Cantor en análisis real.
Mientras que Karl Weierstrass y Dedekind apoyaban a Cantor, Leopold Kronecker, considerado ahora como el fundador del constructivismo matemático, no lo hacía.
En 1906, los lectores ingleses obtuvieron el libro Theory of Sets of Points [9] por los esposos William Henry Young y Grace Chisholm Young, publicado por Cambridge University Press.
La teoría de conjuntos se utiliza comúnmente como sistema fundacional, aunque en algunas áreas -como la geometría algebraica y la topología algebraica- se considera que la teoría de categorías es un fundamento preferible.
Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto.
Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica.
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos
Como implica esta definición, un conjunto es un subconjunto de sí mismo.
Para los casos en que esta posibilidad no es adecuada o tendría sentido rechazarla, se define el término subconjunto propio.
Además, 1, 2 y 3 son miembros (elementos) del conjunto {1, 2, 3}, pero no son subconjuntos del mismo; y a su vez, los subconjuntos, como {1}, no son miembros del conjunto {1, 2, 3}.
Hay muchas ventajas técnicas en esta restricción, y se pierde poca generalidad, porque esencialmente todos los conceptos matemáticos pueden ser modelados por conjuntos puros.
El universo entero de von Neumann se denomina
Muchas propiedades de los conjuntos de Borel pueden establecerse en ZFC, pero demostrar que estas propiedades se mantienen para conjuntos más complicados requiere axiomas adicionales relacionados con la determinación y los cardinales grandes.
En muchos casos, los resultados de la teoría de conjuntos descriptiva clásica tienen versiones efectivas; en algunos casos, los nuevos resultados se obtienen demostrando primero la versión efectiva y luego extendiéndola ("relativizándola") para hacerla más ampliamente aplicable.
El ejemplo canónico es el universo construible L desarrollado por Gödel.
Por ejemplo, se puede demostrar que independientemente de si un modelo V de ZF satisface la hipótesis del continuo o el axioma de elección, el modelo interno L construido dentro del modelo original satisfará tanto la hipótesis del continuo generalizado como el axioma de elección.
Así, la suposición de que ZF es consistente (tiene al menos un modelo) implica que ZF junto con estos dos principios es consistente.
La AD puede utilizarse para demostrar que los grados de Wadges tienen una estructura elegante.
Se han estudiado muchos invariantes cardinales, y las relaciones entre ellos son a menudo complejas y están relacionadas con axiomas de la teoría de conjuntos.
La viabilidad del constructivismo como fundamento sustitutivo de las matemáticas aumentó considerablemente con el influyente libro de Errett Bishop Foundations of Constructive Analysis.
[20] Además, dado que el esfuerzo humano es necesariamente finito, la filosofía de Wittgenstein requería un compromiso ontológico con el constructivismo radical y el finitismo.
Los enunciados metamatemáticos -que, para Wittgenstein, incluían cualquier enunciado que cuantificara sobre dominios infinitos, y por tanto casi toda la teoría de conjuntos moderna- no son matemáticas.
Como señalaron los revisores Kreisel, Bernays, Dummett, y Goodstein, muchas de sus críticas no se aplicaban al artículo en su totalidad.
Solo recientemente filósofos como Crispin Wright han comenzado a rehabilitar los argumentos de Wittgenstein.
