La teoría descriptiva de conjuntos comienza con el estudio de los espacios polacos y sus subconjuntos de Borel.
Un espacio polaco es un espacio topológico segundo contable que es metrizable con una métrica completa.
De manera equivalente, es un espacio métrico completamente separable cuya métrica ha sido "olvidada".
Algunos ejemplos son la recta real
, y el cubo de Hilbert
La clase de los espacios polacos posee ciertas propiedades de universalidad, lo que conlleva que no hay pérdida de generalidad al considerar ciertos casos particulares de espacios polacos especialmente simples: Debido a estas propiedades de universalidad, y dado que el espacio de Baire
posee la conveniente propiedad de que es homeomorfo a
, es posible probar varios resultados de la teoría descriptiva de conjuntos en el contexto solamente del espacio de Baire.
El álgebra de Borel de un espacio topológico X consiste en la σ-álgebra más pequeña que contiene los subconjuntos abiertos de X.
Por tanto, el álgebra de Borel es la colección más pequeña de conjuntos tal que: Además, es conocido que dos espacios polacos no numerables cualesquiera X e Y son Borel-isomorfos; existe una biyección desde X a Y tal que la preimagen de cualquier conjunto de Borel es a su vez Borel, y a la inversa, la imagen de cualquier conjunto de Borel es Borel.
Este resultado aporta una justificación adicional a la práctica de restringir la atención a los espacios de Baire y de Cantor, dado que estos y cualquier otro espacio polaco son isomorfos en lo que se refiere a sus conjuntos de Borel.
Cada conjunto de Borel de un espacio polaco se clasifica en la jerarquía de Borel en función de cuantas operaciones de unión y complementariedad hay que emplear para obtener dicho conjunto a partir de conjuntos abiertos.
Para cada ordinal numerable no nulo α existen las clases
Por tanto, la jerarquía tiene la siguiente estructura, en la que las flechas indican inclusión:
Más recientemente se ha extendido la teoría para incluir la forma en que estos resultados se pueden o no generalizar a otras clases de subconjuntos de los espacios polacos.
A pesar de que cualquier preimagen continua de un conjunto de Borel es Borel, no todos los conjuntos analíticos son conjuntos de Borel.
Un subconjunto es coanalítico si su complemento es analítico.
Este fenómeno es particularmente evidente en los conjuntos proyectivos.
Estos se definen mediante la jerarquía proyectiva de un espacio polaco X: Al igual que con la jerarquía de Borel, para cada n, cualquier conjunto
Las propiedades de los conjuntos proyectivos no están completamente determinadas por los axiomas ZFC.
Asumiendo el axioma de constructibilidad, no todos los conjuntos proyectivos tienen la propiedad de conjunto perfecto o la propiedad de Baire.
Sin embargo, considerando el axioma de determinación proyectiva, todos los conjuntos proyectivos poseen ambas propiedades.
Esto se debe a que los axiomas ZFC implican la determinación de Borel, pero no la determinación proyectiva.
Estos grados está ordenados en la jerarquía de Wadge.
El axioma de determinación implica que la jerarquía de Wadge de cualquier espacio polaco es bien fundada y de longitud Θ (el sucesor de la cardinalidad del continuo), cuya estructura extiende la jerarquía proyectiva.
que es una relación de equivalencia en X.
Por ello, se estudia la jerarquía hiperaritmética en lugar de la jerarquía de Borel, y la jerarquía analítica en lugar de la jerarquía proyectiva.