En lógica matemática y teoría descriptiva de conjuntos, la jerarquía analítica es un análogo de alto nivel de la jerarquía aritmética.
Por lo tanto constituye la clasificación de los conjuntos mediante las fórmulas que los definen.
La jerarquía analítica es importante en teoría de la demostración y aritmética de segundo orden, entre otros campos.
indica la clase de fórmulas en el lenguaje de aritmética de segundo orden sin conjunto de cuantificadores.
Este lenguaje no contiene parámetros de conjunto.
Las letras griegas aquí son símbolos, que indican esta elección de lenguaje.
Cada símbolo en negritas representa la clase correspondiente de fórmulas en el lenguaje extendido con un parámetro para cada real; ver jerarquía proyectiva para más detalles.
Una fórmula en el lenguaje de aritmética de segundo orden se define mediante
n + 1
si es lógicamente equivalente a una fórmula del tipo
n
Se define una fórmula
si es lógicamente equivalente a una fórmula de la forma
Esta definición inductiva define las clases
para cada número natural
Como cada fórmula tiene una forma normal prenexa, cada fórmula en el lenguaje de la aritmética de segundo orden es
Como se pueden agregar cuantificadores sin sentido a cualquier fórmula, una vez que una fórmula recibe la clasificación
se le asignarán las clasificaciones
mayor que
Notar que muy rara vez tiene sentido referirse a la fórmula
; el primer cuantificador de una fórmula es o bien existencial o universal.
Una serie de números es asignado a la clasificación
si se puede definir por la fórmula
Al conjunto se le asigna la clasificación
si se puede definir por la fórmula
Si el conjunto es a la vez
se le dará la clasificación adicional
Para cada n tenemos la siguiente contención estricta: A un conjunto que se encuentra en
para alguna n se le llama analítico.