La teoría informal de conjuntos es una teoría “no formalizada”; es decir, que emplea el lenguaje cotidiano para hablar de conjuntos, por lo que los conectores « y »; « o »; « no »; « si..., entonces »; « si y sólo si », no están sujetos a definiciones rigurosas.
En sus primeros tiempos, la teoría de conjuntos era informal y fue desarrollada a fines del siglo XIX, principalmente por Georg Cantor y Gottlob Frege, con el fin de permitir a los matemáticos trabajar con conjuntos infinitos coherentes.
Sin embargo, esta teoría primigenia permitía definir un conjunto a partir de cualquier propiedad sin ninguna restricción, lo que llevó a antinomias, o paradojas lógicas, como la paradoja de Russell, o semánticas, como la paradoja de Berry.
Como solución a este conflicto se elaboró la teoría axiomática de conjuntos, cuyo propósito era determinar con precisión qué definiciones de conjuntos podían ser empleadas.
La suposición de que cualquier propiedad puede utilizarse para formar un conjunto, sin restricción, conduce a paradojas.
Una dificultad para determinar esto con certeza es que Cantor no proporcionó una axiomatización de su sistema.
Esto puede hacerse mediante definiciones, que son axiomas implícitos.
Las referencias a axiomas particulares ocurren típicamente sólo cuando lo exige la tradición, por ejemplo, el axioma de elección se menciona a menudo cuando se utiliza.
Del mismo modo, las pruebas formales se producen sólo cuando están justificadas por circunstancias excepcionales.
Dichos objetos se denominan elementos o miembros del conjunto y pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, otros conjuntos, etc.
Por ejemplo, el 4 es un elemento del conjunto de todos los números enteros.
Obviamente, el conjunto de todos los números es infinitamente grande; sin embargo, no es necesario que un conjunto sea precisamente finito para que pueda definirse con precisión.
El problema, en este contexto, con las teorías de conjuntos formuladas informalmente, no derivadas de (e implicando) ninguna teoría axiomática particular, es que puede haber varias versiones formalizadas muy diferentes, que tienen tanto conjuntos diferentes como reglas diferentes sobre cómo se pueden formar nuevos conjuntos, que se ajustan todas a la definición informal original.
Por ejemplo, la definición literal de Cantor permite una libertad considerable en lo que constituye un conjunto.
Pero incluso cuando se fija la clase de conjuntos en consideración, no siempre está claro qué reglas para la formación de conjuntos están permitidas sin introducir paradojas.
A efectos de fijar la discusión que sigue, el término "bien definido" debe interpretarse en cambio como una intención, con reglas implícitas o explícitas (axiomas o definiciones), de descartar incoherencias.
El propósito es mantener las cuestiones de coherencia, a menudo profundas y difíciles, alejadas del contexto, normalmente más sencillo, que nos ocupa.
En este caso, esta proposición se escribe o representa formalmente así: x ∈ A.
Los elementos de un conjunto determinan a éste en su totalidad y esto también es válido para un conjunto vacío, que es aquel que no tiene ningún elemento, el cual se representa a menudo así "Ø" y otras veces así "{ }".
Así {1, 2} denota el conjunto cuyos únicos elementos son 1 y 2.
Se puede abusar informalmente de esta notación diciendo algo como {dogs} para indicar el conjunto de todos los perros, pero este ejemplo normalmente sería leído por los matemáticos como "el conjunto que contiene el único elemento perros".
Un ejemplo extremo (pero correcto) de esta notación es {}, que denota el conjunto vacío.
; la P aparece a veces en un tipo de letra script.