Paradoja de Russell

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, acreditada a Bertrand Russell, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

Por otro lado un conjunto que consta de «libros» no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro.

Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de «libros» en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo.

La paradoja de Russell ha sido expresada en varios términos más cotidianos, el más conocido es la paradoja del barbero que se puede enunciar de la siguiente manera: En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas.

Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran afeitarse a sí mismos.

e impuso la norma de que todo el mundo estuviera afeitado, (no se sabe si por higiene, por estética, o por demostrar que podía imponer su santa voluntad y mostrar así su poder).

Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero como yo soy el único barbero de allí!, no puedo hacerlo y también así desobedecería a vos mi señor, oh emir de los creyentes, ¡que Allah os tenga en su gloria!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más hermosa de sus concubinas.

Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.

[2]​ En lógica de primer orden, la paradoja del barbero se puede expresar como: (4)

Pero Russell duda sobre esta formulación, él mismo comenta: «en una ocasión me fue sugerida una formulación que no era válida; a saber, la cuestión de si el barbero se afeita o no a sí mismo.

Ustedes pueden definir al barbero como "alguien que afeita a todos aquellos, y sólo aquellos, que no se afeitan a sí mismos".

La pregunta ahora es: ¿se afeita el barbero a sí mismo?

Así formulada, la contradicción no es muy difícil de resolver».

Los conjuntos son reuniones de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc. y en este sentido los llamaremos conjuntos normales.

La característica principal de un conjunto normal es que no se contiene a sí mismo.

Esto último no es difícil si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros.

, luego ya no puede ser normal, puesto que se contiene a sí mismo.

Russell descubrió la paradoja en mayo[3]​ o junio de 1901.

Frege luego escribió un apéndice admitiendo la paradoja,[11]​ y propuso una solución que Russell apoyaría en su Principles of Mathematics,[12]​ pero más tarde algunos lo consideraron insatisfactorio.

[13]​ Por su parte, Russell tenía su obra en la imprenta y añadió un apéndice sobre la doctrina de tipos.

Afirma: «Y, sin embargo, incluso la forma elemental que Russell9 dio a la teoría de conjuntos antinomias podría haberlos persuadido [J. König, Jourdain, F. Bernstein] que la solución de estas dificultades no debe buscarse en la renuncia al buen orden sino solo en una restricción adecuada de la noción de conjunto».

[16]​ La nota al pie 9 es donde hace su afirmación: Frege envió una copia de su Grundgesetze der Arithmetik a Hilbert; como se señaló anteriormente, el último volumen de Frege menciona la paradoja que Russell le había comunicado a Frege.

Pues supongamos que la función F(fx) pudiera ser su propio argumento: en ese caso habría una proposición F(F(fx)), en el que la función exterior F y la función interna F debe tener diferentes significados, ya que el interior tiene la forma O(fx) y el exterior tiene la forma Y(O(fx)).

(Tractatus Logico-Philosophicus, 3.333) Russell y Alfred North Whitehead escribieron sus «Principia Mathematica» en tres volúmenes con la esperanza de lograr lo que Frege no había podido hacer.

Si bien lograron fundamentar la aritmética de alguna manera, no es del todo evidente que lo hicieran por medios puramente lógicos.

Si bien «Principia Mathematica» evitó las paradojas conocidas y permitió la derivación de una gran cantidad de matemáticas, su sistema dio lugar a nuevos problemas.

Esto se considera muy ampliamente, aunque no universalmente, como que ha demostrado que el programa logicista de Frege es imposible de completar.

En 2001, se celebró en Múnich una Conferencia Internacional del Centenario que celebraba los primeros cien años de la paradoja de Russell y se publicaron sus actas.