Fundamentos de las matemáticas
Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras fundamentalmente importantes que forman el lenguaje de las matemáticas: fórmulas, teorías y sus modelos, dando un significado a las fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc. también llamados conceptos metamatemáticos, con atención a los aspectos filosóficos y a favorecer la unidad de la matemática.
Las matemáticas siempre jugaron un rol especial en el pensamiento científico, sirviendo desde tiempos antiguos como modelo de verdad y rigor para la inquisición racional, dando herramientas o incluso fundamentos para otras ciencias (especialmente la física).
La crisis fundacional de la matemática (llamada originalmente en alemán: Grundlagenkrise der Mathematik) fue un término acuñado a principios del siglo XX para referirse a la situación teórica que llevó a una investigación sistemática y profunda de los fundamentos, que acabó inaugurando una nueva rama de la matemática.
Sin embargo, una paradoja puede referirse o bien a un resultado contraintuitivo pero verdadero, o a un argumento informal que lleva a una contradicción, así que una teoría candidata donde se atente la formalización de un argumento debe inhabilitar al menos uno de sus pasos; en este caso el problema es encontrar una teoría satisfactoria sin contradicciones.
Ambos significados pueden aplicar si la versión formalizada del argumento forma la prueba de una verdad sorprendente.
La filosofía inicial del formalismo, tal como es ejemplificada por David Hilbert, es una respuesta a las paradojas de la teoría axiomática de conjuntos, que se basa en la lógica formal.
Hermann Weyl hará estas mismas preguntas a Hilbert:"What "truth" or objectivity can be ascribed to this theoretic construction of the world, which presses far beyond the given, is a profound philosophical problem.
It is closely connected with the further question: what impels us to take as a basis precisely the particular axiom system developed by Hilbert?
For the time being we probably cannot answer this question...."[3]En algunos casos, estas preguntas pueden ser contestadas satisfactoriamente a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como las matemáticas inversas y la teoría de la complejidad computacional.
Para el intuicionismo la validez de un enunciado matemático es equivalente a haber sido probado, pues ¿qué otro criterio (diría un intuicionista) puede ser válido si los objetos son meras construcciones mentales?
El intuicionismo también rechaza la abstracción del infinito; no considera asignarle a algún conjunto dado entidades infinitas, como el campo de los números naturales, o a una secuencia arbitraria de números racionales.
Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradicción clásica (reducción al absurdo) que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradicción.
El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepción objetiva de las matemáticas.
Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal.
En cambio, su principal preocupación es que la empresa matemática en su conjunto siga siendo siempre productiva.
Por lo general, esto se asegura al permanecer con una mente abierta, práctica y ocupada; potencialmente amenazada con volverse excesivamente ideológica, fanáticamente reduccionista o perezosa.
Los primeros filósofos griegos discutieron ampliamente sobre qué rama de la matemática era más antigua, si la aritmética o la geometría.
La escuela pitagórica de matemática insistía originalmente en que solo existían los números naturales y racionales.
Este método llegó a la cumbre con Elementos de Euclides (300 a. C.), un proyecto monumental de la geometría estructural con rigurosidad alta :cada proposición es justificable por una demostración mediante chains of syllogisms (though they do not always conform strictly to Aristotelian templates).
Aristotle's syllogistic logic, together with the Axiomatic Method exemplified by Euclid's Elements, are universally recognized as towering scientific achievements of ancient Greece.
La definición moderna del criterio (ε, δ) y la noción de función continua fueron desarrollada por primera vez por Bolzano en 1817, pero durante un tiempo fue relativametne poco conocida.
