Filosofía de las matemáticas
Es importante mantener presente que aunque estos dos enfoques pueden implicar diferentes esquemas e intereses, no son opuestos, sino más bien complementarios: «Cuando los matemáticos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina, se dice que se dedican a la investigación fundamental (o trabajo fundacional o de fundamentos.- ver Metamatemática).
El objeto de mi contribución es mostrar que la filosofía matemática moderna está profundamente enraizada en la epistemología general y solamente se puede comprender en ese contexto».
Los filósofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipótesis y teorías.".
[11] Acorde con el físico Paul Davies: "Los científicos no usan las matemáticas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos.
"[19] Esa situación ha sido resumida de la siguiente manera[20] Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista[21] (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el fenomenalismo de Husserl[22]).
Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo.
La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematicismo) va más allá del platonismo al afirmar que no sólo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más.
[43] Las entidades matemáticas son todos los objetos potenciales del intelecto que dan una idea de la belleza y un placer intelectual.
[44] Aristóteles criticó las ideas platónicas afirmando que el verdadero ser se encuentra no en lo universal, sino en lo individual.
[45] Este es el origen y la base de un realismo filosófico moderado, que sostiene que los conceptos universales son realidades en la mente y aunque carecen de existencia independiente, tienen su fundamento en las cosas existentes.
[46] Los defensores más conocidos son Alberto Magno y Tomás de Aquino.
[39][49] También se ha considerado a Nicolai Hartmann[50] y Penelope Maddy[51] como aristotélicos en sus filosofías sobre las matemáticas.
No es necesario porque la matemática no necesita fundaciones indudables,[62] y no es necesariamente correcto porque, de hecho, la matemática trabaja perfectamente (especialmente en el área de las matemáticas aplicadas) sobre la base que los axiomas son presumiblemente correctos y presumiblemente coherentes y que las inferencias que siguen de esos presumibles axiomas son presumiblemente posibles (en el sentido que se puede crear un modelo matemático a partir de ellas).
Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente válidas (véase Validez (epistemología) y Validez (lógica)) pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducción para ser considerada válida.
El matemático puede confiar, en cambio, que existe una interpretación de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la física o por otras ciencias naturales, tal que las reglas conduzcan a «afirmaciones verdaderas».
Sigue que, en un momento dado (por ejemplo, el presente) es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no.
Los intuicionistas lo utilizan en situaciones específicas -por ejemplo, en el caso de conjuntos bien definidos y finitos.
Para los intuicionistas un (cualquier) ente es válido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un número finito de pasos o operaciones (este procedimiento puede ser un algoritmo o algún otro que siga una regla: por ejemplo: arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier número).
Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradicción clásica (reducción al absurdo) que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradicción.
El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepción objetiva de las matemáticas.
Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal.
[104] Los distintos cargos (presidente, auditor, tesorero, etc.) son independientes de las personas que asumen esas tareas.
El club en sí, con las personas que han tomado posesión de los cargos, ejemplifica esta estructura.
Del mismo modo, cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor único ejemplifica la estructura de los números naturales.
Mill propuso que los principios matemáticos y las conclusiones de la ciencia deductiva (como la geometría, aritmética, álgebra...) son inductivas.
Los axiomas se basan en la observación y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas.
El epicúreo Zenón de Sidón anticipó a Mill en esta teoría matemática inductiva.
[113] Mill cree que este punto de vista "debe esperarse la recepción más desfavorable".
Nombra a las matemáticas como el «lenguaje de la naturaleza» y refuta dos posibles explicaciones para esto.
Resumió su argumento de la siguiente manera: Cita al físico y matemático húngaro Eugene Wigner (1902-1995) como una influencia en su pensamiento.
