Axiomas de Zermelo-Fraenkel
En lógica y matemáticas, los axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, son un sistema axiomático concebido para formular la teoría de conjuntos.
Consecuentemente, a principios del siglo XX se realizaron varios intentos alternativos y hoy en día ZFC se ha convertido en el estándar de las teorías axiomáticas de conjuntos.
El propósito de Cantor era proporcionar un método para lidiar con asuntos relacionados al infinito actual, un concepto que fue rehuido y rechazado por algunos matemáticos (Kronecker) por considerarlo sin significado.
Ciertamente Cantor tuvo éxito, si bien su teoría debía ser precisada y sometida a un sistema axiomático, un proyecto que luego fue llevado a cabo principalmente por Frege, Russell, Zermelo, Albert Skolem y Adolf Fraenkel.
Sin embargo, el sistema de Cantor era tan permisivo que dio lugar a resultados contradictorios.
El concepto de conjunto se encuentra a un nivel tan elemental que no es posible dar una definición precisa del mismo.
Si aceptamos que todo es un conjunto, entonces los primeros y segundos argumentos de
Es en momentos como ese en que se hace evidente la necesidad de axiomatizar y formalizar la teoría de conjuntos para poder llegar a resultados más profundos.
cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos.
Si bien esta teoría elimina la paradoja de Russell, resulta bastante complicada.
Dado un conjunto ordenado no vacío tal que todas sus cadenas tienen una cota superior, contiene al menos un elemento maximal.
En otras palabras, afirma que un conjunto está determinado por su extensión (todos sus elementos).
no figura dentro del lenguaje de primer orden con el que se construye la teoría ZF, pues la definición antes dada debería en ese caso ser introducida como un axioma que establezca el empleo de
Esto está justificado, pues el axioma de extensionalidad nos dice que este conjunto es único.
Si se aplica el axioma de pares a un solo conjunto
, un hecho que no puede deducirse simplemente del esquema de especificación junto con los axiomas restantes.
, puede hacerse uso del esquema de especificación para obtener el conjunto
Para este último, era posible tener un conjunto cuyos elementos satisfacían cierta propiedad.
Con ello Frege garantizaba demasiado y daba lugar en su sistema a paradojas como la de Russell, entre otras.
cumplan esto mismo (un subconjunto así de X se denomina conjunto inductivo).
mismos que pueden ser considerados los números naturales en ZF, y puede llamarse
En esta forma fue utilizado por R. M. Robinson en su The theory of classes [1937] (en donde presenta una modificación del sistema de von Neumann), así como también por Bernays [1942].
Así, puede obtenerse el conjunto de números naturales cuyos elementos son
El axioma de regularidad dado aquí se debe a Zermelo [1930], si bien von Neumann presentó uno equivalente [1929], aunque más complicado.
Además, como puede observarse, carece de la obviedad que (aunque la complejidad notacional de estos haga en algunos casos pensar lo contrario) caracteriza a todos los otros axiomas.
El axioma de elección fue presentado por Russell en 1906 de manera esencialmente similar a la siguiente: Russell llamó a este principio Axioma multiplicativo.
Zermelo introdujo el axioma de elección para probar el teorema de buena ordenación que afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado.
Dado un (presunto) conjunto nos basta con llegar a una contradicción con el resto de la teoría después de haber supuesto su existencia para demostrar que no existe tal conjunto.
, lo que irremisiblemente lleva a la Paradoja de Russell, por lo cual V no es un conjunto.
En cuanto a la completitud, el propio Gödel en sus teoremas de incompletitud demostró que si un sistema axiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmética recursiva, dicho sistema no puede ser completo y consistente.
