Teorema de la inversión de Fourier
Intuitivamente, puede verse como la afirmación de que si se conoce toda la información relativa a la frecuencia y la fase de una onda, entonces se puede reconstruir con precisión la onda original.
[1] El teorema dice que si se tiene una función
que satisface ciertas condiciones, y se usa la convención de la transformada de Fourier según la que entonces En otras palabras, el teorema dice que Esta última ecuación se denomina teorema integral de Fourier.
Otra forma de establecer el teorema es observar que si
En estos casos, las integrales anteriores pueden no tener sentido, o el teorema puede ser válido para casi todos los
Se usa la convención para la transformada de Fourier por la que Además, se supone que la transformada de Fourier también es integrable.
Teéngase en cuenta también que a partir de
y La forma del teorema de inversión de Fourier indicado anteriormente, como es común, adopta la forma En otras palabras,
Sin embargo, también es un inverso hacia la derecha para la transformada de Fourier, es decir Como
): Alternativamente, esto puede verse a partir de la relación entre
El teorema de inversión de Fourier se aplica a todos los espacios de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas decaen rápidamente).
Esta condición tiene el beneficio de que es una afirmación directa elemental sobre la función (en oposición a imponer una condición en su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables.
Esta versión del teorema se usa en la demostración del teorema de la inversión de Fourier para distribuciones temperadas (véase más abajo).
El teorema de la inversión de Fourier se cumple para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir,
Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la anterior.
Una ligera variante es abandonar la condición de que la función
sea continua, pero aun así se requiere que la propia función y su transformada de Fourier sean absolutamente integrables.
casi en todas partes donde g es una función continua y
Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir,
Un análogo en dimensiones más altas de esta forma del teorema también se cumple, pero según Folland (1992) es "bastante delicado y no especialmente útil".
Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir,
Específicamente, se define La conclusión del teorema es entonces la misma que para el caso uniforme por partes discutido anteriormente.
, entonces el teorema de inversión de Fourier aún se mantiene siempre que se defina nuevamente la transformación inversa con una función de corte suave, es decir, La conclusión ahora es simplemente que para todos los
Si se eliminan todas las suposiciones sobre la continuidad (por partes) de
[3] En este caso, la transformada de Fourier no puede definirse directamente como una integral, ya que puede no ser absolutamente convergente, por lo que se define en cambio por un argumento de densidad (véase transformada de Fourier).
, esto está de acuerdo con la definición habitual.
En muchas situaciones, la estrategia básica es aplicar la transformada de Fourier, realizar alguna operación o simplificación, y luego aplicar la transformada de Fourier inversa.
muestra que la transformada de Fourier es un operador unitario en
Por ejemplo, al buscar la transformada de Fourier de la función rectangular, se observa que por lo que el hecho correspondiente para la transformación inversa es La demostración se vale de algunos hechos: En primer lugar, dado que por suposición,
, entonces se sigue por el teorema de la convergencia dominada que A continuación, definir
