En matemática, el teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto (o producto Hadamard) de las transformadas.
En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).
dos funciones cuya convolución se expresa con
(notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo
el operador de la transformada de Fourier, con lo que
son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.
También puede afirmarse que: Aplicando la transformada inversa de Fourier
, podemos escribir: La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de
que son inconvenientes aquí.
{\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
Nótese que Del teorema de Fubini tenemos que
, así que su transformada de Fourier está definida.
f ( x ) g ( z − x )
− 2 π i z ⋅ ω
f ( x ) g ( z − x )
{\displaystyle |f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|}
y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini: Sustituyendo
y = z − x
, y por lo tanto: Estas dos integrales son las definiciones de