Bornología

Esto se debe a que[1]​pg 9 la categoría de los espacios bornológicos es aditiva, completa, cocompleta y tiene un producto tensorial adjunto por el hom interno, todos ellos componentes necesarios para definir un álgebra homológica.Hay dos formas naturales de estudiar los problemas de análisis funcional: una es estudiar nociones relacionadas con la topología (topologías vectoriales, operadores continuos, subconjuntos abiertos/compactos, etc.) y la otra es estudiar nociones relacionadas con acotaciones[2]​ (bornologías vectoriales, operadores lineales acotados, subconjuntos acotados, etc.).Para los espacios vectoriales normados, de los cuales surgió el análisis funcional, las nociones topológicas y bornológicas son distintas pero complementarias y están estrechamente relacionadas.Además, un subconjunto de un espacio normado es un entorno del origen (respectivamente, es "un conjunto acotado") exactamente cuando contiene (respectivamente, está contenido en) un múltiplo escalar distinto de cero de esta bola.Entonces, este es un caso donde las nociones topológicas y bornológicas son distintas pero complementarias, en el sentido de que sus definiciones difieren solo según qué relación se usa (En otras ocasiones, la distinción entre nociones topológicas y bornológicas puede incluso resultar innecesaria.Por ejemplo, para aplicaciones lineales entre espacios normados, ser continuo (una noción topológica) equivale a ser acotado (una noción bornológica).Aunque la distinción entre topología y bornología suele ser confusa o innecesaria para espacios normados, se vuelve más importante cuando se estudian generalizaciones de espacios normados.[3]​ Otros problemas importantes para los cuales se encontró que los EVTs eran inadecuados fue el desarrollo de una teoría más general del cálculo diferencial, la generalización de las distribuciones desde las distribuciones con valores escalares (las habituales) a distribuciones con valores vectoriales o de operadores, y la extensión del cálculo funcional holomórfico de Gelfand (que está concertado principalmente con el álgebra de Banach o con el álgebra localmente convexa) a una clase más amplia de operadores, incluidos aquellos cuyos espectros no son compactos.Se ha descubierto que la bornología es una herramienta útil para investigar estos problemas y otros, incluidos[4]​ problemas en geometría algebraica y topología general.Los elementos de una bornología se denominan conjuntos acotados.se denomina estructura acotada o conjunto bornológico .[5]​ Por lo tanto, una bornología puede definirse de manera equivalente como un recubrimiento cerrado hacia abajo que está cerrado bajo uniones binarias.puede definirse de manera equivalente como un ideal que recubreLas propiedades (1) y (2) implican que cada subconjunto unitario dela propiedad (3), a su vez, garantiza que lo mismo ocurre con cada subconjunto finito deEn otras palabras, los puntos y los subconjuntos finitos siempre están acotados en cada bornología.Se verifica fácilmente que dicha intersección también se cerrará bajo inclusión (subconjunto) y uniones finitas y, por lo tanto, será una bornología enUn isomorfismo en esta categoría se llama bornomorfismo y es un aplicación biyectiva acotada localmente cuya inversa también está acotada localmente.son localmente convexos, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Sies localmente convexo, entonces esta lista puede ampliarse para incluir: Sies un operador lineal continuo entre dos espacios vectoriales topológicos (ni siquiera necesitan ser de Hausdorff), entonces es un operador lineal acotado (cuandoes una estructura acotada, entonces (porque las bornologías son cerradas hacia abajo)De manera más general, para cualquier cardinal infinito,entonces esta bornología es igual a la colección de todos los subconjuntoses la bornología de imagen inversa determinada por las proyecciones canónicasen el que los subconjuntos unitarios sean relativamente compactos (como el espacio T1), el conjunto de todos los subconjuntos relativamente compactos de[5]​ Cada aplicación continua en el espacio T1 está limitada con respecto a sus bornologías compactas.su bornología métrica consta de todos los subconjuntosse denomina cerrada si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: La bornología