Este resultado fue probado por Israel Gelfand y Mark Naimark en 1943 y fue un punto significativo en el desarrollo de la teoría de las álgebras C* ya que estableció la posibilidad de considerar un álgebra C* como una entidad algebraica abstracta sin referencia a realizaciones particulares.
Según el teorema de extensión de Kerin para funcionales lineales positivos, existe un estado f en A tal que f (z) ≥ 0 para todos los z no negativos en A y f ( − x * x) < 0.
Considere la representación GNS π f con un vector cíclico ξ.
Tomar la finalización de A / I en relación con esta norma anterior a C* produce un álgebra C* B.
Mediante el teorema de Krein-Milman se puede demostrar sin demasiada dificultad que para x un elemento del álgebra A de Banach * tiene una identidad aproximada: De ello se deduce que una forma equivalente para la norma C* en A es tomar el supremo anterior sobre todos los estados.