Una propiedad importante de estos operadores es que sus autovalores son siempre números reales.
Una matriz es hermítica o autoadjunta cuando es igual a su propia adjunta y es antihermítica cuando es igual a su traspuesta conjugada multiplicada por -1.
Estos operadores se pueden representar como una matriz diagonal (en una base ortonormal) de números reales.
En espacios de dimensión infinita, como los espacios de Hilbert que aparecen en análisis funcional y en mecánica cuántica, un operador puede ser hermítico pero no ser autoadjunto (aunque todos los operadores autoadjuntos son hermíticos).
, y puede demostrarse que los dominios siempre satisfarán
El interés en los operadores en mecánica cuántica se debe a que en la formulación de Dirac-von Neumann, los posibles valores de los observables físicos o magnitudes físicas, son precisamente los autovalores de ciertos operadores que representan la magnitud física.
Así pues el que un operador pueda ser interpretado como una magnitud físicamente medible requiere que sus autovalores sean números reales, condición que queda garantizada si los observables se representan por operadores hermíticos.
La consecuencia más importante de que un operador hermítico sea además autoadjunto es que entonces se le puede aplicar el teorema de descomposición espectral.
Todos los operadores importantes de la mecánica cuántica como la posición, el momentum, el momento angular, la energía o el espín se representan como operadores autoadjuntos en un dominio denso espacio de Hilbert
, y que para estados estacionarios (independientes del tiempo) equivale a resolver: donde
son los autovalores del operador, y corresponden a la energía de cada estado estacionario.
es un operador no-acotado, relacionado con el hecho de que en esos sistemas no existe un valor máximo para la energía que puede tener una partícula.
Es interesante notar que normalmente los operadores no acotados, como el operador Hamiltoniano no están definidos en todo el espacio, sino solamente en un dominio denso.
Por ejemplo para el oscilador armónico cuántico unidimensional en que V(x) = x2, el operador hamiltoniano no está definido sobre el estado cuántico: Donde
Es sencillo ver que el hamiltoniano no está definido para ese estado:
Los elementos de la diagonal deben ser reales, por ejemplo: Es interesante notar que la matriz inversa de una matriz hermítica es también hermítica:
El caso de la dimensión infinita es más complicado ya que un operador hermítico no necesariamente es autoadjunto, a diferencia de lo que sucede en dimensión finita.
Un ejemplo bien conocido es el momento lineal en dirección radial, que desde el punto de vista clásico es una magnitud física medible, pero su generalización cuántico es un operador hermítico pero no autoadjunto.
Consecuentemente, no existe un experimento cuántico que pueda medir genuinamente el momento radial, al no ser un observable.