Espacio de Hilbert
El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático David Hilbert quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales.
Más formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorial definida por el producto interno.
Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudian dentro del análisis funcional.
Como se explica en el artículo dedicado a los espacios de producto interior, cada producto interno <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:
H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma.
Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero.
Estos usos incluyen: El producto interno permite que se adopte una visión "geométrica" y que utilice el lenguaje geométrico familiar de los espacios de dimensión finita.
En mecánica cuántica por ejemplo, un conjunto físico es descrito por un espacio complejo de Hilbert que contenga las "funciones de ondas" para los estados posibles del conjunto.
El origen de la designación, aunque es confuso, fue utilizado ya por Hermann Weyl en su famoso libro la teoría de grupos y la mecánica cuántica publicado en 1931.
John von Neumann fue quizás el matemático que más claramente reconoció su importancia.
En los siguientes ejemplos, asumiremos que el cuerpo subyacente de escalares es
El primer ejemplo, que ya había sido avanzado en la sección anterior, lo constituyen los espacios de dimensión finita con el producto escalar ordinario.
Estos son espacios funcionales asociados a espacios de medida (X, M, μ), donde M es una σ-álgebra de subconjuntos de X y μ es una medida contablemente aditiva en M. Si p = 2 estos espacios son además un espacio de Hilbert, siendo así L² μ(X) el espacio de funciones medibles cuadrado-integrables complejo-valoradas en X, módulo el subespacio de esas funciones cuya integral cuadrática sea cero, o equivalentemente igual a cero casi por todas partes donde "cuadrado integrable" significa que la integral del cuadrado de su valor absoluto es finita y "módulo igualdad casi por todas partes" significa que las funciones son identificadas si y sólo si son iguales salvo un conjunto de medida 0.
El producto interno de las funciones f y g se da como:
Uno necesita demostrar: Estos son hechos técnicamente fáciles.
Vea espacios Lp para discusión adicional de este ejemplo.
Usando el lema de Zorn, se puede demostrar que cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal; además, cualesquiera dos bases ortonormales del mismo espacio tienen el mismo cardinal.
Puesto que todos los espacios separables infinito-dimensionales de Hilbert son isomorfos, y puesto que casi todos los espacios de Hilbert usados en la física son separables, cuando los físicos hablan de espacio de Hilbert quieren significar el separable.
Incluso si B no es numerable, sólo contablemente muchos términos en esta suma serán diferentes a cero, y la expresión está por lo tanto bien definida.
Si {ek}k ∈ B es una base ortonormal de H, entonces H es isomorfo a l²(B) en el sentido siguiente: existe una función lineal biyectiva Φ : H → l²(B) tal que para todo x y y en H. Puede demostrarse que todas las bases ortogonales, definidas en la sección anterior tienen el mismo cardinal, eso permite definir la dimensión de un espacio de Hilbert como:
es una base de Hilbert o conjunto ortogonal maximal y
Dados dos (o más) espacios de Hilbert, podemos combinarlos en un espacio más grande de Hilbert tomando su suma directa o su producto tensorial.
La primera construcción se basa en la unión de conjuntos y la segunda en el producto cartesiano.
Si S es un subconjunto del espacio de Hilbert H, definimos el conjunto de vectores ortogonales a S
El operador lineal PV : H → H que mapea x a v se llama la proyección ortogonal sobre V. Teorema.
Esta correspondencia es explotada por la notación bra-ket popular en la física.
Estos operadores comparten muchas propiedades de los números reales y se ven a veces como generalizaciones de ellos.
Esto puede también ser expresado requiriendo que
estos corresponden a los observables de momento y posición, respectivamente, expresados en unidades atómicas.
Observe que ni A ni B se definen en todo H, puesto que en el caso de A la derivada no necesita existir, y en el caso de B la función del producto no necesita ser cuadrado-integrable.
