, no existe diferencia si se considera el 0 como natural o si no; en cualquier caso, este artículo toma la convención estándar de la lógica matemática, en donde se toma alAlgunos autores utilizan contable en el sentido de lo que aquí se llama infinito numerable, y no incluyen los conjuntos finitos.[1] En 1878 utilizó las correspondencias uno a uno para definir y comparar las cardinalidades.[2] En 1883 extendió los números naturales con sus ordinales infinitos, y usó conjuntos de ordinales para producir una infinidad de conjuntos teniendo diferentes cardinalidades infinitas.Su origen está ligado a la concepción del infinito en matemáticas.La comparación de conjuntos infinitos trae consigo la noción de infinito alcanzado, actual o completo: un conjunto infinito visto como un todo, un concepto que ha sido rechazado por numerosos matemáticos (Gauss, o, en la época de Cantor, Kronecker, etc.).Una forma es simplemente una lista de todos sus elementos; Por ejemplo, el conjunto que consiste en los números enteros 3, 4, y 5 puede ser denotado {3, 4, 5}.Esto solo es efectivo para pequeños conjuntos, sin embargo; para conjuntos más grandes, esto podría llevar mucho tiempo y ser propenso a errores.Incluso en este caso todavía es posible listar todos los elementos, ya que el conjunto es finito.Sin embargo, resulta que los conjuntos infinitos tienen una idea bien definida de tamaño (o mejor dicho, de cardinalidad, que es el término técnico para el número de elementos en un conjunto), y no todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad.Sin embargo, no todos los conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad.Para todos los conjuntos finitos esto nos da la definición usual de tamaño equivalente.Esto es cierto también para todos los números racionales, como puede verse a debajo.Por ejemplo, el conjunto de los números primos es contable, mediante la asignación del n-ésimo número primo a n: ¿Qué ocurre con los conjuntos que son naturalmente "mayores que" N?Por ejemplo, el conjunto de los enteros, Z, o el conjunto de los números racionales, Q, que, intuitivamente puede parecer mucho más grande que N. Pero las apariencias engañan, ya que afirmamos que: Teorema: Z (el conjunto de todos los enteros) y Q (el conjunto de todos los números racionales) son contables.Esto se puede corresponder con el subconjunto de triples ordenados de números naturales (a, b, c) de tal manera que si a ≥ 0 y b > 0, a y b son coprimos, y c ∈ {0, 1} luego c = 0 si a / b ≥ 0, y c = 1 en caso contrario.Con la previsión de saber que hay conjuntos numerables, podemos preguntarnos si este último resultado puede ser ampliado.La respuesta es "sí" y "no", podemos extenderlo, pero tenemos que asumir un nuevo axioma para hacerlo.Usando una variante de la enumeración triangular vista anteriormente: Tenga en cuenta que esto solo funciona si los conjuntos a, b, c, ... son conjuntos disjuntos.Si no es así, entonces la unión es aún más pequeña y por lo tanto también enumerable mediante uno de los teoremas anteriores.También tenga en cuenta que necesitamos el axioma de la elección contable para indexar todos los conjuntos a, b, c, ... simultáneamente.El siguiente teorema proporciona formulaciones equivalentes en términos de una función biyectiva o sobreyectiva.Una prueba se da en el artículo del teorema de Cantor.Como consecuencia inmediata de esto y el teorema básico anterior tenemos: Proposición: El conjunto P(N) no es contable; es decir, es incontable.El teorema básico a menudo se utiliza para simplificar las pruebas.Observe que N en este teorema puede ser sustituido por cualquier conjunto infinito numerable.Prueba: Por definición, existe una biyección entre un conjunto finito no vacío, S, y el conjunto {1, 2, ..., n} para cualquier número natural positivo n. Esta función es una inyección de S en N. Proposición: Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable.Así que es una subyección de un conjunto numerable N × N al conjunto A × B y el corolario implica que A × B es contable.El teorema de Löwenheim-Skolem se puede utilizar para demostrar que este modelo mínimo es contable.El hecho es que la noción de "incontabilidad" tiene sentido en este modelo, y en particular este modelo M contiene elementos que son: En los primeros días de existencia, esta teoría fue considerada como una paradoja (véase paradoja de Skolem).
Representación biyectiva de enteros a números iguales.
