Número natural

[3]​ De dos números vecinos, el que se encuentra a la derecha se llama siguiente o sucesivo,[4]​ por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado e infinito.Sin embargo, se hizo necesario considerar el número que corresponde a la ausencia de los mismos.Con la conquista musulmana de la península ibérica en el siglo XII, el sistema de numeración arábigo-índico empezó a usarse en Europa y pasó a llamarse sistema de numeración arábigo-índico occidental o sistema de numeración decimal, el cual incluye el cero como numeral, pero aun así no se consideraba a este como un número natural.Esta convención prevalece en dicha disciplina,[5]​ y en otras, como la teoría de la computación.[7]​ Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos.[8]​ Por el contrario, cuando el 0 se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números cardinales y se lo denotaMás adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (véase hueso de Ishango).Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX.Lamentablemente, la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, y hubo que buscar un nuevo método.Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.Formalmente, un conjunto x se dice que es un número natural si cumple: Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.Esa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo axiomático Zermelo-Fraenkel.Esto significa que, en efecto, ℕ es el mínimo conjunto inductivo.Se define la suma por inducción mediante: Lo que convierte a los números naturales (ℕ, +) en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado Monoide Libre con un generador.Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en un grupo matemático.Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir: Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma: Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de: Los números naturales están totalmente ordenados.La relación de orden ≤ se puede redefinir así: a ≤ b si y solo si existe otro número natural c que cumple a + c = b.Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y a ≤ b, entonces se cumple: Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado En los números naturales existe el algoritmo de la división.[18]​ Es un teorema vinculado al sistema de los números naturales y sus ampliaciones aplicativas.