Siempre que X tenga al menos dos elementos, esto equivale a decir que los intervalos abiertos junto con los rayos anteriores forman una base para la topología del orden.
Los conjuntos abiertos en X son los conjuntos que son uniones (que pueden ser infinitas) de tales intervalos y rayos abiertos.
La topología del orden convierte a X en un espacio de Hausdorff completamente normal.
Por ejemplo, considérese el subconjunto Y = {−1} ∪ {1/n }n∈N de los números racionales.
Bajo la topología subespacial, el conjunto unitario {−1} está abierto en Y, pero bajo la topología del orden inducida, cualquier conjunto abierto que contenga a −1 debe contener todos menos un número finito de miembros del espacio.
Por ejemplo, la topología del orden izquierdo o derecho en un conjunto acotado proporcionan un ejemplo de un espacio compacto que no es de Hausdorff.
Obviamente, estos espacios son de mayor interés cuando λ es un ordinal infinito.
En particular, [0,omega;1] no cumple el primer axioma de numerabilidad.
Algunas propiedades adicionales incluyen: Cualquier número ordinal puede convertirse en un espacio topológico dotándolo de la topología del orden (dado que, en un buen orden, cualquier ordinal en particular está totalmente ordenado): salvo indicación en contrario, siempre es esa topología de orden a la que se refiere cuando se trata de un ordinal, y se caracteriza como un espacio topológico.
En particular, los ordinales finitos y ω son espacios topológicos discretos, y ningún ordinal más allá de este es discreto.
Los conjuntos cerrados de un ordinal límite α son simplemente los conjuntos cerrados en el sentido ya definido, es decir, aquellos que contienen un ordinal límite siempre que contenga todos los ordinales suficientemente grandes por debajo de él.
Como espacios topológicos, todos los ordinales son de Hausdorff e incluso normales.
También son totalmente desconectados (los componentes conectados son puntos), dispersos (cada subespacio no vacío tiene un punto aislado; en este caso, solo se toma el elemento más pequeño), de dimensión cero (la topología tiene una base cerrada-abierta: aquí, se escribe un intervalo abierto (β,γ) como la unión de los intervalos abiertos (β,γ'+1) = [β+1,γ '] para γ'<γ).
Sin embargo, no están extremamente desconectados en general (hay conjuntos abiertos, por ejemplo los números pares de ω, cuya clausura no es abierta).
En otras palabras, cuando se da cualquier entorno U de x hay un ordinal β < α tal que xι está en U para todo ι ≥ β.
Sin embargo, no es el límite de ninguna sucesión ordinaria (indexada en ω) en ω1, ya que dicho límite es menor o igual a la unión de sus elementos, que es una unión numerable de conjuntos numerables, y por lo tanto, en sí mismo numerable.
Sin embargo, las sucesiones indexadas ordinales no son lo suficientemente potentes como para reemplazar a redes (o filtros) en general: por ejemplo, en una plancha de Tíjonov (el espacio de producto
es un punto límite (está en el cierre) de la subconjunto abierto