Continuo lineal

[1]​ Formalmente, un continuo lineal es un orden total S de más de un elemento que está densamente ordenado, es decir, entre dos elementos distintos siempre hay otro (y por lo tanto, hay infinitos otros), y completo, es decir, que "carece de espacios" en el sentido de que todo subconjunto no vacío con un límite superior tiene un límite superior mínimo.Los continuos lineales son particularmente importantes en el campo de la topología, donde se pueden usar para verificar si un conjunto ordenado dada la topología del orden es conexo o no.[3]​ A diferencia de la recta real estándar, un continuo lineal puede estar acotado en cualquier lado: por ejemplo, cualquier intervalo (real) es un continuo lineal.Ahora se demuestra la propiedad del límite superior mínimo.Si C es un subconjunto de X que está acotado superiormente y no tiene límite superior mínimo, sea D la unión de todos los rayos abiertos de la forma (b, +∞ ) donde b es un límite superior para C. Entonces, D es abierto (ya que es la unión de conjuntos abiertos) y cerrado (si a no está en D, entonces a < b para todos los límites superiores b de C, de modo que se puede elegir q > a tal que q esté en C (si tal q no existe, a es el límite superior mínimo de C), entonces se puede elegir un intervalo abierto que contenga a a y que no interseque a D).