En el campo matemático de la teoría del orden, un isomorfismo de órdenes es un tipo especial de función monótona que constituye una noción adecuada de isomorfismo para conjuntos parcialmente ordenados.
[1] Dos conjuntos parcialmente ordenados isomorfos se pueden considerar esencialmente iguales: se puede recuperar el orden de uno a partir del del otro.
Dos nociones estrictamente más débiles que se relacionan con los isomorfismos de órdenes son las inmersiones de órdenes y las conexiones de Galois.
[2] Formalmente, dados dos conjuntos parcialmente ordenados
con la propiedad de que, para cada
Esto es, por definición, una inmersión de órdenes biyectiva.
[3] También es posible definir un isomorfismo de órdenes como una inmersión de órdenes sobreyectiva.
conserva ordenamientos, se puede asegurar que
{\displaystyle f(x)=f(y)}
, luego por definición de orden parcial
En particular, cuando el orden del dominio es lineal, toda función estrictamente creciente es inmersión de órdenes, luego toda función estrictamente creciente y sobreyectiva es isomorfismo.
Una tercera caracterización de los isomorfismos de orden es que son exactamente las biyecciones monótonas (crecientes) con inversa monótona.
[4] Un isomorfismo de orden de un conjunto parcialmente ordenado en sí mismo se denomina automorfismo de orden.
[5] Cuando se impone una estructura algebraica adicional a la de conjunto parcialmente ordenado para
debe satisfacer propiedades adicionales para ser considerado como un isomorfismo.
Por ejemplo, dados dos grupos parcialmente ordenados
es un isomorfismo de órdenes que también es un isomorfismo de grupos.
es un isomorfismo de orden, entonces también lo es su función inversa .
[11] Se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos en cuanto al orden cuando existe un isomorfismo de orden entre uno y otro.
[12] Las funciones identidad, inversas y composiciones se corresponden, respectivamente, con las tres características definitorias de una relación de equivalencia: reflexividad, simetría y transitividad.
La clase de los conjuntos parcialmente ordenados puede dividirse en clases de equivalencia, familias de conjuntos parcialmente ordenados que son todos isomorfos entre sí.
Dichas clases de equivalencia se denominan tipos de orden.
Todo conjunto bien ordenado es isomorfo en cuanto al orden a un único ordinal.
Por ello se toma a los ordinales como representantes canónicos de los tipos de buenos órdenes.
al ordinal que representa al tipo de orden de un conjunto bien ordenado
[13] Así, ω representa el tipo de orden del conjunto de los números naturales,
Se pueden conseguir ejemplos más complejos teniendo en cuenta que todo subconjunto de un conjunto bien ordenado es bien ordenado.
como el conjunto de aquellos ordinales pares menores que
, se tiene que: luego es fácil ver que mediante el isomorfismo de órdenes
(ambos conjuntos están formados por dos enumeraciones infinitas seguidas de 4 elementos finales).