Orden total

Se deduce que un conjunto totalmente ordenado es un retículo distributivo.

Los conjuntos totalmente ordenados forman una subcategoría completa de la categoría de conjuntos parcialmente ordenados, siendo los morfismos funciones que respetan el orden, es decir, funciones f tales que si a ≤ b entonces f(a) ≤ f(b).

Para cada orden total (no estricto) ≤ hay asociada una relación asimétrica (y por tanto irreflexiva) <, llamada orden total estricto, que puede definirse de dos maneras equivalentes: El orden total estricto tiene las siguientes propiedades, para cualesquiera a, b, y c en X: Se puede trabajar a la inversa tomando < como una relación binaria transitiva y tricotómica; en ese caso, un orden total no estricto ≤ se puede definir de dos maneras equivalentes: Otros dos órdenes asociados son los complementos ≥ y >, completando así el conjunto {<, >, ≤, ≥}.

Un conjunto X es conexo bajo la topología del orden si y solo si es completo y no tiene saltos (un salto es un par de puntos a y b en X con a < b, tales que no hay un c en X que satisfaga a < c < b).

X es completo si y solo si todo subconjunto acotado que sea cerrado en la topología del orden es compacto.

Un simple argumento de conteo basta para demostrar que todo conjunto finito totalmente ordenado (así como cualquier subconjunto) tiene un elemento mínimo, y por lo tanto está bien ordenado.