Skolem (1922) dio una explicación de la paradoja, mostrando que no es una contradicción matemática.
Una línea de investigación cuestiona si es exacto considerar que cualquier oración de primer orden en realidad puede afirmar que "hay conjuntos no numerables".
Esta línea de pensamiento puede ampliarse para cuestionar si algún conjunto es no numerable en un sentido absoluto.
Más recientemente, el artículo "Modelos y realidad" de Hilary Putnam, y las respuestas al mismo, generaron un renovado interés en los aspectos filosóficos del resultado de Skolem.
Löwenheim (1915) y Skolem (1920, 1923) demostraron el teorema de Löwenheim-Skolem.
La forma descendente de este teorema muestra que si un sistema axiomático numerable de primer orden se satisface con cualquier estructura infinita, entonces los mismos axiomas se satisfacen mediante alguna estructura numerable.
"Hasta donde yo sé", escribe Skolem, "nadie ha llamado la atención sobre este peculiar y aparentemente paradójico estado de cosas.
Por ejemplo, u podría tomarse como el conjunto de los números reales en B.
Así, es posible reconocer que un conjunto particular u es numerable, pero no numerable en un modelo particular de teoría de conjuntos, porque no hay ningún conjunto en el modelo que proporcione una correspondencia uno a uno entre u y los números naturales en ese modelo.
[1] Desde una interpretación del modelo a partir de las nociones convencionales de estos conjuntos, esto significa que aunque u se asigna a un conjunto no numerable, hay muchos elementos en la noción intuitiva de u que no tienen un elemento correspondiente en el modelo.
El resultado de Skolem se aplica solo a lo que ahora se llama lógica de primer orden, pero Zermelo argumentó contra la metamatemática finitaria que subyacen a la lógica de primer orden (Kanamori 2004, p. 519 y siguientes).
Zermelo argumentó que sus axiomas deberían estudiarse en la lógica de segundo orden, un entorno en el que el resultado de Skolem no se aplica.
Si la teoría de conjuntos se estudia utilizando la lógica de orden superior con semántica completa, entonces no tiene ningún modelo numerable, debido a la semántica que se utiliza.
El forzado, por ejemplo, a menudo se explica en términos de modelos numerables.