La formulación matemática rigurosa de la mecánica cuántica fue desarrollada por Paul Adrien Maurice Dirac y John von Neumann.
Este artículo presenta una enumeración más o menos canónica de dichos postulados fundamentales en que se resume dicha formulación.
Conmutador Todo estado cuántico está representado por un vector normalizado, llamado en algunos casos "vector de estado" perteneciente a un espacio de Hilbert complejo y separable
(espacios compactos con estructura vectorial y de funciones acotadas).
Fijada una base del espacio de Hilbert unitaria
se puede representar el estado de las siguientes formas vectoriales:
Puesto que todo espacio de Hilbert es reflexivo ambos espacios son isomorfos y por tanto constituyen descripciones esencialmente semejantes.
El estado físico de un sistema cuántico solo adquiere forma matemática concreta cuando se escoge una base en la cual representarlo.
Más aún, el estado cuántico no debe ser identificado con una forma matemática concreta, sino con una clase de equivalencia de formas matemáticas que representan el mismo estado físico.
para todo θ, aun siendo vectores diferentes del espacio de Hilbert representan el mismo estado cuántico.
representan el mismo estado ya que la medida de cualquier magnitud en ellos es idéntica.
Los observables de un sistema están representados por operadores lineales hermíticos (autoadjuntos).
El conjunto de autovalores (valores propios) del observable
recibe el nombre de espectro y sus autovectores (vectores propios), exactos o aproximados, definen una base en el espacio de Hilbert.
y los autovectores resolviendo el siguiente sistema de n ecuaciones:
es el vector propio asociado al autovalor a (en notación del espacio de Hilbert esto se expresa como
Como consecuencia de este postulado el valor esperado será:
Se llama dispersión o incertidumbre a la raíz cuadrada de la varianza.
Si el observable tiene un espectro no necesariamente puntual o hacemos una medida de primera especie (filtrante sobre él) entonces la probabilidad de que la medida esté dentro de un conjunto boreliano
es el proyector ortogonal sobre un subespacio de vectores asociados a valores propios contenidos en el conjunto boreliano
El caso particular tratado anteriormente correspondía a un conjunto boreliano tal que:
Esto es porque las variables X y Px son canónicas conjugadas, es decir que el conmutador
Éste es el postulado más conflictivo de la mecánica cuántica ya que supone el colapso instantáneo de nuestro conocimiento sobre el sistema al hacer una medida filtrante[cita requerida].
sobre el cual se hace una medida de primera especie de A y se obtiene el valor
(matemáticamente esta "filtración" se obtiene mediante una proyección ortogonal a dicho subespacio).
Si no se ha destruido durante el proceso.
Más en general, si el sistema se encuentra en un estado mezcla definido por una matriz densidad
del espectro del operador, entonces el estado final será un estado mezcla "filtrado" dado por la siguiente proyección ortogonal:[2]
Donde H es el operador de Hamilton o hamiltoniano del sistema, que corresponde a (al observable de) la energía del sistema.
la regla de conmutación claramente no es nula.