Cono convexo

para cada escalar positivo s. Cuando los escalares son números reales, o pertenecen a un cuerpo ordenado, generalmente se llama cono a un subconjunto de un espacio vectorial que se cierra mediante la multiplicación por un escalar positivo.En este artículo solo se considera el caso de escalares en un campo ordenado.Un subconjunto C de un espacio vectorial V sobre un cuerpo ordenado F es un cono (o a veces llamado cono lineal) si para cada x en C y para todo escalar positivo α en F, el producto αx está en C.[1]​ Téngase en cuenta que algunos autores definen cono con el escalar α que abarca todos los escalares no negativos (en lugar de todos los escalares positivos, que no incluyen el 0).De la propiedad anterior se deduce que un cono convexo también se puede definir como un cono lineal cerrado bajo combinaciones convexas, o justo bajo la adición.Sin embargo, todavía se le llama cono convexo afín.de manera que un semiespacio abierto utiliza una desigualdad estricta.[7]​[8]​ Los semiespacios (abiertos o cerrados) son conos convexos afines.Además (en dimensiones finitas), cualquier cono convexo C que no sea todo el espacio V debe estar contenido en algún semiespacio cerrado H de V.Este es un caso especial del lema de Farkas.Este hecho se conoce como el lema de Farkas.Afortunadamente, el teorema de Carathéodory garantiza que cada vector en el cono puede representarse como máximo mediante d vectores que lo definen, donde d es la dimensión del espacio.Se dice que un cono convexo es puntiagudo si 0 está en C y romo si 0 no está en C.[1]​[17]​ Los conos romos se pueden excluir de la definición de cono convexo sustituyendo positivo por no negativo en la condición de α, β.Un cono se llama plano si contiene algún vector distinto de cero x y su opuesto −x, lo que significa que C contiene un subespacio lineal de dimensión al menos uno, y saliente en caso contrario.[20]​ Algunos autores exigen que los conos salientes sean puntiagudos.[21]​ El término puntiagudo también se utiliza a menudo para referirse a un cono cerrado que no contiene una línea completa (es decir, ningún subespacio no trivial del espacio vectorial entorno V, o lo que se llama un cono saliente).[22]​[23]​[24]​ El término cono propio (convexo) se define de diversas formas, según el contexto y el autor.A menudo significa un cono que satisface otras propiedades como ser convexo, cerrado, puntiagudo, saliente y de dimensión completa."Los conos racionales son objetos importantes en geometría algebraica tórica, álgebra conmutativa combinatoria, combinatoria geométrica y programación entera".es el emparejamiento de dualidad entre C y V, es decir,En dimensiones finitas, las dos nociones de cono dual son esencialmente la misma, porque cada funcional lineal de dimensión finita es continua,[30]​ y cada funcional lineal continuo en un espacio producto interno induce un isomorfismo lineal (mapa lineal no singular) de V* a V, y este isomorfismo llevará el cono dual dado por la segunda definición, en V*, al dado por la primera definición (véase el teorema de representación de Riesz).Se puede decir que un cono es autodual sin referencia a ningún producto interno dado, si existe un producto interno con respecto al cual es igual a su dual según la primera definición.Tanto el cono normal como el tangente tienen la propiedad de ser cerrados y convexos.Son conceptos importantes en los campos de la optimización convexa, las desigualdades variacionales y los sistemas dinámicos proyectados.[31]​ Un cono convexo puntiagudo y saliente C induce un conjunto parcialmente ordenado "≥" en V, definido de manera que(si el cono es plano, la misma definición da simplemente un conjunto preordenado), y los múltiplos escalares positivos de desigualdades válidas con respecto a este orden siguen siendo desigualdades válidas.Los ejemplos incluyen el orden del producto en vectores de valores reales,y el orden de Loewner en matrices semidefinidas positivas.Este orden se encuentra comúnmente en programación semidefinida.