Espacio conexo por caminos
En topología un espacio topológico se dice que es conexo por caminos o caminoconexo si dos de sus elementos cualesquiera pueden conectarse mediante un camino continuo.
(En realidad, puede ser cualquier intervalo
, pero siempre se puede normalizar y llevar a
es un espacio conexo por caminos si:
continua (i.e., una curva) tal que
Es decir, en términos intuitivos, si cada par de puntos pueden ser unidos mediante una curva, o, dicho de otro modo, "conectados por un camino" (y de ahí el nombre).
, la definición de conexión por caminos es la misma que antes, sólo que ahora pidiendo que cada par de puntos en
puedan ser conectados por una curva continua contenida en
Esta definición es equivalente a pedir que
, dotado de la topología traza, sea un espacio conexo por caminos.
A continuación se da y se demuestra una lista de propiedades de los espacios conexos por caminos en relación con las estructuras típicas de la topología:
(1) La imagen de un espacio conexo por caminos por una aplicación continua es conexa por caminos.En efecto, si
y construimos un camino continuo entre ellos.
es un camino continuo (por ser composición de funciones continuas) de
(2) El cociente de un espacio conexo por caminos es conexo por caminos.Es un corolario de lo anterior, pues el cociente es la imagen del espacio original por la proyección canónica, que es continua por definición de topología cociente.
(3) El producto de espacios conexos por caminos es conexo por caminos si y sólo si cada componente es conexa por caminos.De izquierda a derecha es igual que (2), pues cada componente es la imagen del espacio producto por la proyección a esa componente, que es continua por definición de topología producto.
es una familia de espacios conexos por caminos y veamos que
son no vacíos, podemos tomar puntos
Afirmamos que no podemos unir estos puntos por un camino continuo, lo que será una contradicción con que el espacio fuera conexo por caminos.
fuera un camino continuo de
son abiertos de
son abiertos de
son no vacíos, pues contienen el 0 y el 1, respectivamente.
, que es conexo por ser un intervalo de
Esta es la contradicción que buscábamos.
Sin embargo, el recíproco no es cierto, es decir, existen espacios conexos que no son conexos por caminos.
Un ejemplo es la curva seno del topólogo, que es la adherencia del gráfico de la función
Como el gráfico de la función por sí solo es conexo, su adherencia también (esa propiedad siempre se cumple para conjuntos conexos).
Sin embargo, no se puede conectar por un camino continuo un punto del grafo con un punto del trozo del eje y.
La demostración de esto está en la página Seno del topólogo.
