Espacio secuencial

De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones que establecen correspondencias entre los números naturales y el cuerpo K de los números reales o complejos.

El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las sucesiones posibles con elementos en K, y puede convertirse en un espacio vectorial bajo las operaciones adición puntual y multiplicación escalar puntual de funciones.

es un espacio vectorial para la suma por componentes de y la multiplicación escalar por componentes Un espacio secuencial es cualquier subespacio vectorial de

es un espacio de Fréchet, lo que significa que es un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo, metrizable y completo.

Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no hay normas continuas en

(y por lo tanto, la topología del producto no puede ser definida por ninguna norma).

Entonces, las siguientes expresiones son equivalentes: Pero la topología del producto también es inevitable:

no admite una topología localmente convexa de Hausdorff estrictamente más gruesa.

también es un espacio de Hilbert cuando está dotado de su espacio prehilbertiano canónico, llamado producto interno euclídeo, definido para todos los

no conlleva una norma, sino más bien un metric definido por Una sucesión convergente es una secuencia

llamado Dado que toda secuencia convergente está acotada,

El conjunto de todas las sucesiones que convergen a

que, cuando está dotado de la norma del supremo, se convierte en un espacio de Banach que se denota por

Este no es un subespacio cerrado, y por lo tanto, no es un espacio de Banach con respecto a la norma del infinito.

Sea: que denota el espacio de sucesiones finitas sobre

se convierte en un espacio vectorial topológico, secuencial, localmente convexo, de Hausdorff y completo, es decir, no es un espacio de Fréchet-Urysohn.

también es estrictamente más fina que la topología del subespacio inducida en

Esto se ve facilitado por el hecho de que la topología subespacial en

donde cada inclusión agrega ceros a la derecha: Esto muestra que

a través de la aplicación lineal El subespacio cs que consta de todas las series convergentes es un subespacio que pasa al espacio c bajo este isomorfismo.

Sustituir dos vectores unitarios distintos por x e y muestra directamente que la identidad no es verdadera a menos que p = 2.

El isomorfismo específico asocia a un elemento x de ℓq el funcional para y en ℓp.

da una isometría La aplicación obtenida componiendo κp con el inverso de su traspuesto coincide con la inyección canónica de ℓq en su espacio dual.

Los espacios c0 y ℓp (para 1 ≤ p < ∞) tienen una base de Schauder canónica incondicional {ei | i = 1, 2,...}, donde ei es la secuencia que es cero excepto por un 1 en la entrada i th.

Sin embargo, dado que la topología débil en espacios de dimensión infinita es estrictamente más débil que la topología fuerte, hay redes en ℓ1 que son convergentes débiles pero no convergentes fuertes.

Es decir, para cada espacio de Banach separable X, existe una función cociente

; dado que hay muchos no numerables de estos X', y dado que ningún ℓp es isomorfo a ningún otro, hay, por lo tanto, incontablemente muchos núcleos Q's).

Todo conjunto ortogonal en H es, como máximo, numerable (es decir, tiene dimensión o

[2]​ Las dos sentencias siguientes están relacionadas: Una sucesión de elementos en ℓ1 converge en el espacio de sucesiones complejas ℓ1 si y solo si converge débilmente en este espacio.

[3]​ Si K es un subconjunto de este espacio, entonces las siguientes expresiones son equivalentes:[3]​ Aquí, K es equipequeño en el infinito significa que para cada