La norma se define como variación, es decir
que consta de medidas numerablemente aditivas.
[2] La notación ba es una regla mnemotécnica en inglés para "bounded additive" (aditivo acotado) y ca es la abreviatura de "countably additive" (aditivo numerable).
Si X es un espacio topológico, y Σ es el álgebra sigma de un conjunto de Borel en X, entonces
[3] Los tres espacios están completos (es decir, son espacios de Banach) con respecto a la misma norma definida por la variación total y, por lo tanto,
para Σ el álgebra de Borel establecida en X.
El espacio ba del conjunto potencia de los números naturales, ba(2N), a menudo se denota simplemente como
Sea B(Σ) el espacio de funciones Σ-medibles acotadas, equipadas con la norma del supremo.
Este resultado se debe a Hildebrandt[4] y Fichtenholtz & Kantorovich.
En particular, este isomorfismo permite definir la integración con respecto a una medida finitamente aditiva (téngase en cuenta que la integral de Lebesgue habitual requiere aditividad numerable).
Este resultado se debe a Dunford & Schwartz,[6] y se utiliza a menudo para definir la integral con respecto a la medida vectorial,[7] y especialmente a la medida de Radon con valores vectoriales.
Existe una dualidad algebraica obvia entre el espacio vectorial de todas las medidas finitamente aditivas σ en Σ y el espacio vectorial de funciones simples (
Es fácil comprobar que la forma lineal inducida por σ es continua en la supra norma si σ está acotada, y el resultado se deduce de que una forma lineal en el subespacio denso de funciones simples se extiende a un elemento de B(Σ)* si es continuo en la supra norma.
Si Σ es una σ-álgebra y μ es una medida positiva sigma aditiva en Σ, entonces el espacio Lp L∞(μ) dotado con la norma del supremo esencial es por definición el espacio cociente de B(Σ) por el subespacio cerrado de funciones nulas μ acotadas: El espacio dual de Banach L∞(μ)* es, por tanto, isomorfo a es decir.
el espacio de medidas con signo sigma aditivas en Σ que son absolutamente continuas con respecto a μ (μ-a.c.
En otras palabras, la inclusión en el bidual es isomorfa a la inclusión del espacio de medidas acotadas μ-a.c.
numerablemente aditivas dentro del espacio de todas las medidas acotadas μ-a.c.