Norma del supremo

En análisis matemático, la norma del supremo (o también conocida como la norma uniforme) asigna a funciones acotadas de valores complejos

número no negativo

(de una forma análoga podemos definir la norma del supremo para funciones a valores reales

Esta norma es también llamada como la norma de Chebyshev, la norma infinito, la norma sup, o también, cuando el supremo es de hecho un máximo, en tal caso pasa a llamarse la norma del máximo.

Uno de sus tantos nombres, la "norma uniforme" proviene del hecho de que la sucesión

{\displaystyle C(S):=\left\{f:S\rightarrow \mathbb {C} ,\,\,{\text{ existe }}M\geq 0{\text{ tal que }}|f(x)|\leq M\,\,\forall x\in S\right\}}

, en otras ocasiones este conjunto suele escribirse como

viene por la palabra bounded en inglés que significa acotada), o también en otros casos

(se usa este término en casos que la topología de

No es difícil ver que mediante las operaciones puntuales el conjunto

se transforma en un espacio vectorial.

se transforma en un espacio vectorial normado, es decir,

Finalmente a esta función la llamamos como la norma del supremo.

Observe que si la condición de ser acotada es retirada, entonces puede existir

Por lo tanto en este caso la función

deja de ser una norma, sin embargo es posible definir una topología de todas formas en el espacio

pasa a ser una métrica extendida.

No es difícil encontrar ejemplos en que

satisface lo que necesitamos.

Si consideramos al conjunto

como un conjunto finito, por ejemplo si

, entonces no es difícil notar que

(de una manera análoga podemos construir

) y en este caso podemos notar que la norma del supremo toma la forma de la famosa norma del máximo en

la medida de Lebesgue en

, entonces definimos la norma p (o también conocida como la p-norma)

, para toda función

-medible (observe que este valor puede ser infinito).

es acotada y existe

sea finito entonces se tiene que Este resultado es generalizable para funciones de tipo