Esta demostración hace uso del hecho de que todo real en M[G] es definible sobre una sucesión numerable de ordinales, y por tanto N y M[G] tienen los mismos reales.
Solovay sugirió en su artículo que el uso de un cardinal inaccesible podría no ser necesario.
Finalmente,Shelah (1984) demostró que la consistencia de un cardinal inaccesible es también necesaria para construir un modelo en el que todos los conjuntos de reales sean medibles Lebesgue.
Shelah también probó que la condición Σ1 3 es cercana a la mejor posible construyendo un modelo (sin usar un cardinal inaccesible) en el que todos los conjuntos Δ1 3 de reales son medibles.Raisonnier (1984),Stern (1985) y Miller (1989) detallaron en sus artículos este resultado.Shelah y Woodin (1990) demostraron que si existen cardinales supercompactos, entonces todo conjunto de reales en L(R), los conjuntos constructibles generados por los reales, es medible Lebesgue y tiene la propiedad de Baire.
Esto incluye todo conjunto de reales "razonablemente definible".