Lema de Urysohn
En topología, el lema de Urysohn es un lema que establece que un espacio topológico es normal si y sólo si cualquier par de conjuntos cerrados disjuntos pueden ser separados por una función continua.
[1]Esto es, en un espacio topológico es equivalente que los conjuntos cerrados disjuntos se puedan separar por entornos disjuntos a que se puedan separar por una función continua (existe una función continua del espacio a
El lema de Urysohn es comúnmente usado para construir funciones continuas con ciertas propiedades en espacios normales.
Es aplicado en muchas situaciones, puesto que todos los espacios métricos y todos los espacios de Hausdorff compactos son normales.
Este lema debe su nombre al matemático ruso Pavel Samuilovich Urysohn.
Un espacio normal es un espacio topológico en el que todo par de conjuntos cerrados disjuntos puede ser separado por entornos.
El lema de Urysohn afirma que un espacio topológico es normal si y sólo si todo par de conjuntos cerrados disjuntos puede ser separado por una función continua.
La necesidad ya se intuye más sencilla y veremos en la demostración que, en efecto, es mucho más sencilla de demostrar.
sean precisamente separados por f, es decir, no se requiere que
Para poder afirmar esto hacen falta hipótesis más fuertes que la normalidad: sólo se puede afirmar en espacios perfectamente normales.
Por ejemplo, un corolario del lema es que los espacios normales y T1 son de Tychonoff.
es normal si, y sólo si, para cualesquiera dos subconjuntos cerrados no vacíos, disjuntos,
son dos abiertos disjuntos que contienen por hipótesis a
El primer paso es construir, usando la normalidad, una familia de abiertos
numerable (podemos suponer que lo ordenamos de la forma estándar
(basta usar la definición para los cerrados disjuntos
y, recursivamente, supongamos que tenemos definido
el siguiente racional de la numeración; queremos definir
con el orden usual de la recta real.
ya han sido definidos, y cumplen que
Comprobemos que se sigue satisfaciendo
se sigue por hipótesis de inducción.
El siguiente paso es extender la definición de
Observamos que este conjunto no contiene ningún elemento menor que 0, pues ningún
Esta es la parte más difícil, y demostramos antes dos resultados elementales:
contiene todos los racionales mayores que
no contiene ningún racional menor que
{\displaystyle c f ( x ) ∈ [ p , q ] ⊆ ( c , d ) . {\displaystyle f(x)\in [p,q]\subseteq (c,d).}
