Topología del subespacio

} Es decir, un subconjunto de S es abierto en la topología del subespacio si y sólo si es la intersección de S con un conjunto abierto en (X,ԏ).

Si S está equipado con la topología del subespacio, entonces es un espacio topológico por derecho propio, y se llama subespacio de (X,ԏ) .

Se suele suponer que los subconjuntos de los espacios topológicos están equipados con la topología del subespacio, a menos que se indique lo contrario.

[1]​ Alternativamente podemos definir la topología del subespacio para un subconjunto S de X como la topología más gruesa para la que el mapa de inclusión

es una inyección desde un conjunto S a un espacio topológico X.

Los conjuntos abiertos en esta topología son precisamente los de la forma

Igualmente se llama subespacio cerrado si la inyección

La distinción entre un conjunto y un espacio topológico a menudo se desdibuja notacionalmente, por conveniencia, lo que puede ser una fuente de confusión cuando uno se encuentra por primera vez con estas definiciones.

como los espacios topológicos, relacionados como ya se ha dicho.

Así, frases como "S un subespacio abierto de X" se utilizan para significar que

en el sentido utilizado anteriormente; es decir: (i)

; y (ii) S se considera dotado de la topología del subespacio.

representa los números reales con su topología habitual.

Esta propiedad es característica en el sentido de que se puede utilizar para definir la topología del subespacio en Y.