Sean l, m, y n números enteros mayores o iguales a 2.
Por lo tanto, si las reflexiones generadoras están etiquetadas como a, b, c y los ángulos entre ellos en el orden cíclico son los indicados anteriormente, entonces se mantienen las siguientes relaciones: Es un teorema que todas las demás relaciones entre a, b, c son consecuencias de estas relaciones y que Δ (l, m, n) es un grupo discreto de movimientos del espacio correspondiente.
Dado cualquier número natural l, m, n > 1, exactamente una de las geometrías bidimensionales clásicas (euclidiana, esférica o hiperbólica) admite una triángulo con los ángulos (π/l, π/m, π/n), y el espacio está embaldosado por reflejos del triángulo.
En cuanto a los números l, m, n > 1, existen las siguientes posibilidades.
El grupo triangular es el grupo de simetría infinito de una determinada teselación (o mosaico) del plano euclídeo mediante triángulos cuyos ángulos suman π (o 180°).
Los grupos Δ(2,2,n), n > 1 del grupo diedral se pueden interpretar como los grupos de simetría de la familia de diedros, que son los sólidos degenerados formados por dos n-ágonos regulares idénticos unidos entre sí, o sus hosoedros duales, que se forman al unir n digonos junto a dos vértices.
Por lo tanto, cada uno de ellos determina un mosaico del plano proyectivo real, un teselado elíptico.
Todos los tripletes que no figuran en la lista representan teselados del plano hiperbólico.
[3] El grupo D(l, m, n) se define por la siguiente presentación: En términos de los generadores anteriores, estos son x = ab, y = ca, yx = cb.
Esto corresponde a los lados que se encuentran en los ángulos de aπ/l (resp.
), que tiene el orden l y, por lo tanto, es idéntico a un elemento de un grupo abstracto, pero distinto cuando está representado por una reflexión.
Estas simetrías de teselaciones solapadas no se consideran grupos triángulares.