Sea E un espacio euclídeo de dimensión finita.Las nociones correspondientes se pueden definir sobre otros cuerpos, lo que lleva al grupo de reflexiones complejo y elementos análogos de grupos de reflexión sobre un cuerpo finito.En dos dimensiones, los grupos de reflexión finitos son los grupos diédricos, que se generan por reflexión respecto a dos rectas que forman un ángulo dey corresponden al diagrama de Coxeter-DynkinPor el contrario, los grupos de puntos en dos dimensiones cíclicos no se generan por reflexiones, ni contienen ninguna, son subgrupos de índice 2 de un grupo diédrico.Los grupos de reflexión infinitos incluyen los frisosSi el ángulo entre dos rectas es un múltiplo irracional de pi, el grupo generado por las reflexiones en estas rectas es infinito y no discreto, y por lo tanto, no es un grupo de reflexiones.Los poliedros regulares duales (cubo y octaedro, así como dodecaedro e icosaedro) dan lugar a grupos de simetría isomórficos.Un grupo de reflexiones W admite un presentación de un tipo especial descubierta y estudiada por Harold Scott MacDonald Coxeter.Todas las relaciones entre ellos se derivan formalmente de las relaciones expresando el hecho de que el producto de las reflexiones ri y rj en dos hiperplanos Hi y Hj que se encuentran en un ángulofijando el subespacio Hi ∩ Hj de la codimensión 2.Cuando se trabaja sobre cuerpos finitos, se define una reflexión como una correspondencia que fija un hiperplano (de lo contrario, por ejemplo, no habría reflexiones en la característica 2, comoGeométricamente, esto equivale a incluir cizallamientos en un hiperplano.La clase más importante surge de los espacios simétricos de Riemann de rango 1: la n-esfera Sn, correspondiente a grupos de reflexión finitos, el espacio euclídeo 'Rn, correspondiente a grupos de reflexión afines, y el espacio hiperbólico Hn, donde los grupos correspondientes se denominan grupos de reflexión hiperbólicos.
Ejemplo de un grupo de reflexión: teselado del plano con triángulos equiláteros (3,3,3)
