Diagrama de Coxeter-Dynkin

Describe una construcaleidoscópica: ca dominio de una faceta) y la etiqueta ligada a una rama codifica el orden del ángulo diedro entre cada dos espejos (en un dominio de una cara), es decir, la cantidad por la que se tiene que multiplicar el ángulo entre los planos reflectantes para obtener 180 grados.

Los diagramas de Dynkin guardan una correspondencia directa con los sistemas raíz, por lo que se usan para clasificarlos.

Cuando p = 2 el ángulo es de 90° y los espejos no tienen interacción, entonces la rama puede omitirse del diagrama.

El tipo indefinido a veces se subdivide aún más, en hiperbólicos y otros grupos de Coxeter.

Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter.

Un grupo de Coxeter hiperbólico es compacto si todos los subgrupos son finitos (es decir, tienen determinantes positivos) y paracompacto si todos sus subgrupos son finitos o afines (es decir, tienen determinantes no negativos).

También existen soluciones racionales [p/q], , con máximo común divisor (p, q) = 1, que definen dominios fundamentales superpuestos.

Un espejo está "activo" (crea reflejos) solo con respecto a los puntos que no están en él.

Un diagrama no conectado (subgrupos separados por ramas de orden 2 o espejos ortogonales) requiere al menos un nodo activo en cada subgrafo.

Los politopos uniformes con un anillo corresponden a puntos generadores en las esquinas del dominio fundamental simplex.

En el plano hiperbólico [7,3], la familia produce un conjunto paralelo de teselados uniformes y sus duales.

Solo hay 1 alternancia (achatado) ya que todos los órdenes de las ramas son impares.

, representa dominios cuadrados o rectangulares (tableros de ajedrez) en el plano euclídeo.

representa los dominios fundamentales con forma de prisma triangular en el espacio euclídeo tridimensional.

Los diagramas de Coxeter-Dynkin para estas configuraciones poligonales caleidoscópicas se pueden ver como dominios fundamentales degenerados (n-1)-símplex, con un orden cíclico de ramas a, b, c ... y las n*(n-3)/2 ramas restantes se etiquetan como infinito (∞), lo que representa los espejos no intersecantes.

El único ejemplo no hiperbólico es la simetría euclídea de cuatro espejos en un teselado cuadrado o rectángular como , [∞, 2, ∞] (orbifold *2222).

Por ejemplo, un dominio cuadrilátero (a b c d) tendrá dos ramas de orden infinito que conectan espejos ultra paralelos.

El ejemplo hiperbólico más pequeño es , [∞, 3, ∞] o [iπ/λ1, 3, iπ/λ2] (orbifold *3222), donde (λ1, λ2) son la distancia entre los espejos ultraparalelos.

El dominio cuadrilátero más alto (∞ ∞ ∞ ∞) es un cuadrado infinito, representado por un gráfico tetraédrico completo con 4 ramas perimetrales como vértices ideales y dos ramas diagonales como infinito (se muestran como líneas de puntos) para los espejos ultraparalelos: .

= [(34,4)]: Los grupos de Coxeter hiperbólicos paracompactos (también llamados no compactos) contienen subgrupos afines y tienen dominios fundamentales simplex asintóticos.

En un diagrama de Coxeter, tales ramas se representan con líneas punteadas o discontinuas.

En contraste, los politopos de Vinberg en 3 dimensiones o más están completamente determinados por los ángulos diédricos.

Otros gráficos paracompactos válidos con dominios fundamentales de la pirámide cuadrilátera, incluyen: Otro subgrupo [1+, 41,1,1] = [∞, 4,1+, 4, ∞] = [∞ [6]].

[17]​ Hay un número finito de símplex fundamentales degenerados que existen hasta 8 dimensiones.

[20]​ Hay un número finito de simplificadores fundamentales degenerados que existen hasta 8 dimensiones.

[21]​ Los grupos lorentzianos para dominios simplex pueden definirse como gráficos más allá de las formas hiperbólicas paracompactas.

[9]​ Danny Calegari los denomina grupos de Coxeter cocompactos convexos en el espacio hiperbólico n-dimensional.

por 2π/p radianes sentido del reloj, y un borde es creado por aplicaciones secuenciales de una sola reflexión unitaria.

Un generador de reflexión unitaria para un politopo 1 con p vértices es e2πi/p = cos(2π/p) + i sin(2π/p).

El grupo de simetría p1 [q] p2 está representado por 2 generadores R1 y R2, donde: R1p1 = R2p2 = I.