Diagrama de Dynkin

Presentan la siguiente correspondencia para las álgebras de Lie asociadas a grupos clásicos sobre los números complejos:Los diagramas de Dynkin se pueden interpretar como una clasificación de muchos objetos distintos relacionados entre sí, y la notación "An, Bn,..." se utiliza para referirse a "todas" tales interpretaciones, según el contexto.Su caracterización central implica que un álgebra de Lie simple tiene un sistema raíz, al que está asociado un diagrama de Dynkin (orientado); y por ejemplo, los tres pueden denominarse Bn.Entre los ejemplos de esta circunstancia, se incluyen: Estas últimas notaciones se usan principalmente para objetos asociados con diagramas excepcionales; los objetos asociados a los diagramas regulares (A, B, C, D) tienen nombres tradicionales.Los diagramas simplemente enlazados de Dynkin, aquellos sin enlaces múltiples (A, D, E) clasifican muchos objetos matemáticos adicionales.puede referirse a: Considérese un sistema de raíces, que se supone reducido e integral (o "cristalográfico").Si el ángulo entre las dos raíces es de 120 grados, se coloca un enlace entre los vértices.[2]​ Finalmente, si existen enlaces entre un par de vértices dado, se marcan con una flecha que apunta desde el vértice correspondiente a la raíz más larga hasta el vértice correspondiente a la más corta (la flecha se omite si las raíces tienen la misma longitud).Los ángulos y las relaciones de longitud entre las raíces están ligadas entre sí.En el sistema raíz A2, que se muestra a la derecha, las raíces etiquetadasLos objetos matemáticos correspondientes clasificados por los diagramas son: El espacio en blanco en la parte superior derecha, correspondiente a gráficos dirigidos con un gráfico subyacente no dirigido a cualquier diagrama de Coxeter (de un grupo finito), se puede definir formalmente, pero se discute poco y no parece admitir una interpretación simple en términos de objetos matemáticos de interés.La aplicación descendente está generada sobre (por definición), pero no elemento a elemento, ya que los diagramas Bn y C n se asignan al mismo diagrama no dirigido, con el diagrama de Coxeter resultante, y por lo tanto el grupo de Weyl a veces es denotado BCn.Sucede que todos estos automorfismos de diagrama se pueden realizar como simetrías euclidianas de cómo se dibujan los diagramas convencionalmente en el plano, pero esto es solo un artefacto de cómo se dibujan, y no una estructura intrínseca en sí misma.Los nodos del diagrama indexan los pesos fundamentales, que (para An−1) son, el automorfismo externo puede expresarse como conjugación mediante una matriz en O (2n) con determinante −1Para D4, la representación fundamental es isomorfa a las dos representaciones de espín, y el grupo simétrico resultante en tres letras (S3, o alternativamente el grupo diedral de orden 6, Dih3) corresponde tanto al automorfismo del álgebra de Lie como al automorfismo del diagrama.Pero no se aplica en todas las circunstancias: por ejemplo, tales automorfismos no necesitan surgir como automorfismos del grupo algebraico correspondiente, sino en el nivel de puntos valorados en un campo finito.Los automorfismos del diagrama adicional en características positivas producen los grupos de Suzuki-Ree, 2B2, 2F4 y 2G2.Un diagrama de Dynkin (simple) (finito o afín) que tiene una simetría (que satisface una condición, según se detalla a continuación) puede ser estructurado en torno a una simetría, produciendo un nuevo diagrama generalmente de múltiples líneas, con el proceso llamado "plegado" '(debido a que la mayoría de las simetrías aparecen dos veces).[10]​ La única condición en el automorfismo para que el plegado sea posible es que nodos distintos del gráfico en la misma órbita (bajo el automorfismo) no deben estar conectados por un enlace; a nivel de los sistemas de raíces, las raíces en la misma órbita deben ser ortogonales.Consúltese Desbordamiento matemático: plegado por automatismos para obtener más información.Algunos mapas adicionales de diagramas tienen interpretaciones significativas, como se detalla a continuación.Sin embargo, los nodos en el diagrama G2 corresponden a una raíz larga y una raíz corta, mientras que los nodos en el diagrama A2 corresponden a raíces de igual longitud y, por lo tanto, este mapa de sistemas raíz no puede expresarse como un mapa de los diagramas.Eliminar un nodo de un diagrama conectado puede producir otro diagrama conectado (álgebra de Lie simple), si el nodo es una variedad, o un diagrama desconectado (un álgebra de Lie semisimple pero no simple), con dos o tres componentes (este último para Dn y En)., y los fenómenos que clasifican tales diagramas se denominan clasificación ADE.[cita requerida] Los gráficos no dirigidos habían sido utilizados anteriormente por Coxeter (1934) para clasificar los grupos de reflexión, donde los nodos correspondían a reflexiones simples; Witt (1941) utilizó los gráficos (con información de longitud) en referencia a los sistemas raíz, con los nodos correspondientes a raíces simples, tal como se usan hoy en día.El tipo indefinido a menudo se subdivide aún más, por ejemplo, un grupo de Coxeter es Lorentziano si tiene un valor propio negativo y todos los demás valores propios son positivos.[16]​ Nota2: Para grupos no dirigidos, los diagramas de Coxeter son intercambiables.Algunas notaciones usadas en física teórica, como en la teoría M, usan un superíndice "+" para grupos extendidos en lugar de un "~" y esto permite definir grupos de extensiones más altas.E8, E7, E6, F4 y G2 ofrecen seis series que finalizan como grupos muy extendidos.