En matemáticas, el término matriz de Cartan tiene tres significados, y todos ellos reciben su nombre del matemático francés Élie Cartan.
Curiosamente, las matrices de Cartan en el contexto del álgebra de Lie fueron investigadas por primera vez por Wilhelm Killing, mientras que la forma de Killing se debe a Cartan.
con entradas enteras tales que Por ejemplo, la matriz de Cartan para G2 se puede descomponer de la forma siguiente: La tercera condición no es independiente, sino que en realidad es una consecuencia de la primera y de la cuarta condiciones.
Siempre se puede elegir una D con elementos diagonales positivos.
En ese caso, si S en la descomposición anterior es definida positiva, entonces se dice que A es una matriz de Cartan.
hay una raíz que es una combinación lineal de las raíces simples ri y rj con un coeficiente positivo para rj y así , el coeficiente de ri tiene que ser no negativo.
Debido a que las raíces simples abarcan un espacio euclídeo, S es definido positivo.
Por el contrario, dada una matriz de Cartan generalizada, se puede recuperar su correspondiente álgebra de Lie.
(véase álgebra de Kac-Moody para obtener más detalles).
A es descomponible si existe un subconjunto propio
A es indescomponible si no es descomponible.
Sea A una matriz de Cartan generalizada indescomponible.
Se dice que A es de tipo finito si todos sus menores son positivos, que A es de tipo afín si sus menores principales propios son positivos y A tiene determinante 0 y, en caso contrario, A es de tipo indefinido.
[2] Otra propiedad de este determinante es que es igual al índice del sistema de raíces asociado, es decir, es igual a
, donde P y Q denotan la retícula de pesos y la retícula de raíces respectivamente.
En la teoría M, se puede considerar una geometría con dos ciclos que se cruzan entre sí en un número finito de puntos, en el límite donde el área de los dos ciclos llega a cero.
En este límite, aparece un grupo de simetría local.
[3] Esto se puede explicar de la siguiente manera.
En la teoría M se manejan solitones, que son superficies bidimensionales llamadas membranas o 2-branas.
Una 2-brana tiene asociada una tensión asociada y, por lo tanto, tiende a encogerse, pero puede rodear dos ciclos, lo que evita que se reduzca a cero.
Se puede compactar una dimensión que es compartida por todos los dos ciclos y sus puntos de intersección, y luego tomar el límite donde esta dimensión se reduce a cero, obteniendo así una reducción dimensional sobre esta dimensión.
Entonces se obtiene el tipo IIA de la teoría de cuerdas como límite de la teoría M, con 2-branas envolviendo dos ciclos ahora descritos por una cadena abierta estirada entre D-branas.
La última relación entre diferentes cuerdas abiertas depende de la forma en que las 2-branas pueden cruzarse en la teoría M original, es decir, en la intersección de dos ciclos.
La relación precisa con la matriz de Cartan se debe a que esta última describe los conmutadores de las raíces simples, que están relacionadas con los dos ciclos en la base que se elija.
Los generadores en el subálgebra de Cartan están representados por cadenas abiertas que se extienden entre una D-brana y ella misma.
Se pueden especificar todas las matrices de Cartan indescomponibles (sin considerar casos equivalentes).