[1] La forma Killing fue esencialmente introducida en la teoría de álgebras de Lie por Élie Cartan () en su tesis.
En un estudio histórico sobre la teoría de Lie,Borel (2001) señala cómo el término "forma de Killing" apareció por primera vez en 1951, durante uno de los informes para el Séminaire Bourbaki; surgió como una denominación inadecuada, ya que la forma había sido utilizada previamente por teóricos como Sophus Lie, aunque no la habían denominada de ninguna manera especial.
Otros autores ahora emplean el término forma de Cartan-Killing.
[2] A finales del siglo XIX, W. Killing había notado que los coeficientes de la ecuación característica de un elemento semisimple y regular de un álgebra de Lie son invariantes bajo el grupo adjunto, de lo que se deduce que la forma Killing (es decir, el coeficiente de grado 2) es invariante, pero no extrajo mayores consecuencias de esta observación.
Un resultado básico que É. Cartan utilizó fue el criterio de Cartan, que establece que la forma Killing no es degenerada si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie simples.
con la ayuda del corchete de Lie, como Ahora, suponiendo
Las siguientes propiedades se siguen como teoremas de la definición anterior: Dada una base
como índice de fila en la matriz
Tomar el rastro equivale a poner
y sumando, y así podemos escribir La forma Killing es el 2-tensor más simple que se puede formar a partir de las constantes de estructura.
En la definición indexada anterior, debemos tener cuidado al distinguir los índices superiores e inferiores (índices co- y contra-variantes).
Esto se debe a que, en muchos casos, la forma Killing se puede usar como un tensor métrico en una variedad, en cuyo caso la distinción se vuelve importante para las propiedades de transformación de los tensores.
Cuando el álgebra de Lie es semisimple sobre un campo de característica cero, su forma Killing no es degenerada, y por lo tanto se puede usar como un tensor métrico para subir y bajar índices.
En este caso, siempre es posible elegir una base para
tal que las constantes de estructura con todos los índices superiores sean completamente antisimétrico.
La forma Killing para algunas álgebras de Lie
visto en su representación matricial fundamental): Supongamos que
Por criterio de Cartan, la forma Killing no es degenerada, y puede ser diagonalizada en una base adecuada con las entradas diagonales ±1.
que es un invariante importante del álgebra de Lie real.
En particular, un álgebra de Lie real
se llama compacta si la forma killing es definida negativa (o semidefinida negativa si el álgebra de Lie no es semisimple).
es un álgebra de Lie semisimple sobre los números complejos, entonces hay varias álgebras de Lie reales no isomorfas cuya complejización es
, que se llaman sus formas reales.
Resulta que cada álgebra de Lie semisimple compleja admite una forma real compacta única (hasta el isomorfismo)
Por ejemplo, el complejo álgebra lineal especial
, y el álgebra unitaria especial, denotado
La segunda es la forma real compacta y su forma Killing es definida negativa, es decir, tiene firma ( 0, 3).
ser una representación del álgebra de Lie.
Luego podemos definir la forma de traza para la representación
Es fácil demostrar que esto es simétrico, bilineal e invariante para cualquier representación