Simetría central
afín, en la que cada punto se refleja a través de un punto fijo determinado llamado centro de la ciudad o simetría.
En ciencias físicas, y especialmente cuando se trata de estructuras cristalinas, se utilizan más comúnmente los términos simetría de inversión, inversión central o centrosimetría.
Sin embargo, al ser una transformación involutiva (lo que significa que tiene orden 2 por ser su propia función inversa: al aplicarse dos veces, se obtiene la función identidad), se identifica con otras aplicaciones denominadas reflexiones que también cuentan con esta propiedad.
En consecuencia, la palabra reflexión también se aplica a cualquier involución del espacio euclídeo, y el conjunto fijo (un espacio afín de dimensión k, donde
En la dimensión 1 coinciden, ya que un punto es un hiperplano respecto a la línea recta.
En términos del álgebra lineal, suponiendo que el origen es fijo, las involuciones son exactamente las aplicaciones representadas por matrices diagonalizables con todos los autovalores 1 o −1.
La reflexión respecto a un hiperplano tiene un único valor propio −1 (y multiplicidad
En otras palabras, el vector de X a P es el mismo que el vector de P a X*.
Esta aplicación es una transformación afín involutiva isométrica, que tiene exactamente un punto fijo que es P. Cuando el punto de inversión P coincide con el origen, la reflexión del punto es equivalente a un caso especial de escalado, y coincide con una escala uniforme con factor de escala igual a −1.
La composición de reflexiones respecto a dos puntos es un traslación.
Específicamente, la simetría central respecto a p seguida de la simetría central respecto a q es la traslación mediante el vector 2(q − p).
Una tarea común en matemáticas escolares es demostrar que el gráfico de una función
La condición mencionada equivale a la expresión siguiente: como se demuestra haciendo la sustitución
En el caso especial de simetría puntual con respecto al origen
, esta ecuación se simplifica a Si es válido para todo
, existe simetría puntual con respecto al origen de coordenadas.
Entonces se aplica lo siguiente: En consecuencia, la gráfica de la función es simétrica con respecto al punto
y se cumple que: Este método no permite determinar el punto de simetría
(véase la sección anterior), y entonces: En el plano euclídeo, la simetría de centro Ω coincide con una rotación respecto al propio centro Ω, con un ángulo de 180° (π radianes).
Geométricamente en 3D equivale a un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por P en un ángulo de 180°, combinado con la reflexión en el plano que pasa por P y que es perpendicular al eje.
El resultado no depende de la orientación (en el otro sentido) del eje.
La inversión respecto al origen corresponde a una inversión aditiva del vector de posición, y también a la multiplicación escalar por −1.
En física, la reflexión tridimensional a través del origen también se denomina transformación de paridad.
en la diagonal y, junto con la identidad, es el centro del grupo ortogonal
[6] Se observa de nuevo que las rotaciones en los planos ortogonales conmutan.
Por lo tanto, conserva la orientación en una dimensión par, por lo que es un elemento del grupo ortogonal SO (2n).
De manera análoga, es un elemento más largo del grupo ortogonal, con respecto al conjunto generador de reflexiones: todos los elementos del grupo ortogonal tienen largo como máximo n con respecto al conjunto generador de reflexiones,[7] y la reflexión a través del origen tiene longitud n, aunque no es única en esto: otras combinaciones máximas de rotaciones (y en su caso, también de reflexiones) a su vez presentan longitud máxima.
En SO(2r), la reflexión a través del origen es el punto más alejado del elemento identidad con respecto a la métrica habitual.
En O(2r + 1), la reflexión a través del origen no está en SO(2r+1) (está en el componente de no identidad), y no hay un sentido natural en el que es un punto más lejano que cualquier otro punto en el componente sin identidad, pero proporciona un espacio topológico puntado en el otro componente.
Las ecuaciones de la simetría central son: x’ = -x, y’ = -y
