Ortogonalidad (matemática)
En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego ὀρθός ‘recto’ y γωνία ‘ángulo’) es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad.
En el espacio euclídeo convencional, el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos.
Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas, el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores
son ortogonales si el producto escalar de
[1] Esta situación se denota
Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.
Si S es un subespacio vectorial de M, el complemento ortogonal de S en M está formado por los vectores de M que son perpendiculares a todos los vectores de S. En geometría euclídea se tiene, dos vectores
ortogonales forman un ángulo recto, los vectores
En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.
pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión
, es igual a cero, se dice que
son ortogonales respecto a la matriz
se dice que forma una base A-ortonormal si
{\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle _{A}=\delta _{ij}}
En geometría y álgebra lineal, una transformación
representa el producto escalar en
en sí mismo (un automorfismo) de forma que cualesquiera que sean los
⟨ φ ( u ) , φ ( v ) ⟩ = ⟨ u , v ⟩
sea un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos, se dirá que
El concepto de ortogonalidad puede extenderse a otros objetos geométricos diferente de los vectores.
Por ejemplo, dos curvas suaves se consideran ortogonales en un punto si sus respectivos vectores tangentes son ortogonales.
Dos familias de curvas se llaman ortogonales si en el punto de intersección de una curva de la primera familia con una curva de la segunda familia ambas resultan ser ortogonales.
Un ejemplo de esto es el de las líneas isostáticas de tracción y compresión en una viga, las cuales son las envolventes de las tensiones principales.
Un sistema de coordenadas sobre una variedad de Riemann o un espacio localmente euclídeo es ortogonal cuando las líneas coordenadas asociadas a los valores constantes de alguna de las coordenadas tienen vectores tangentes que son ortogonales entre sí.
Los sistemas de coordenadas ortogonales son interesantes porque el tensor métrico expresado en ese sistema de coordenadas es diagonal.
Si además todos los términos del tensor métrico son +1 (o también -1 si estamos en una variedad pseudoriemanniana) el sistema de coordenadas se califica además de ortonormal.
Los sistemas de coordenadas ortogonales las líneas coordenadas forman familias de curvas ortogonales entre sí.
En Weisstein, Eric W, ed.
https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-i-ortogonalidad-y-espacio-ortogonal/ Definición y más información sobre ortogonalidad.
