Coordenadas ortogonales

Por ejemplo, la onda de presión debido a una explosión lejos del suelo (u otras barreras) depende del espacio 3D en coordenadas cartesianas, sin embargo, la presión se aleja predominantemente del centro, de modo que en coordenadas esféricas el problema se vuelve casi unidimensional (ya que la onda de presión depende predominantemente solo del tiempo y de la distancia desde el centro).Otro ejemplo es el flujo (no turbulento) de un líquido en una tubería circular recta: en coordenadas cartesianas se tiene que resolver un difícil problema de valor límite bidimensional que involucra una ecuación diferencial parcial, pero en coordenadas cilíndricas el problema se vuelve unidimensional y se puede resolver mediante una ecuación diferencial ordinaria en lugar de una ecuación en derivadas parciales.Por ejemplo, en coordenadas ortogonales muchos problemas pueden resolverse utilizando separación de variables.[1]​[2]​ Las coordenadas ortogonales nunca tienen términos fuera de la diagonal en sus tensores métricos.Estas funciones de escala hi se utilizan para calcular operadores diferenciales en las nuevas coordenadas, como por ejemplo el gradiente, el laplaciano, la divergencia y el rotacional.Se puede formar un número complejo z = x + iy a partir de las coordenadas reales x e y, donde i representa la unidad imaginaria.Cualquier función holomorfa w = f(z) con derivada compleja distinta de cero producirá una transformación conforme.Si el número complejo resultante se escribe w= u + iv, entonces las curvas de u y v constantes se intersecan en ángulos rectos, tal como lo hacen las líneas originales de x e y constantes.Sin embargo, existen otros sistemas de coordenadas ortogonales en tres dimensiones que no se pueden obtener proyectando o rotando un sistema bidimensional, como las coordenadas elipsoidales.del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abiertoDonde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local.Las d curvas coordenadas Ci(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.En otras palabras, se obtiene una curva al fijar todas las coordenadas menos una.Debe tenerse en cuenta que los vectores no tienen necesariamente la misma longitud.Las componentes en la base normalizada son más comunes en aplicaciones para facilitar la claridad de las cantidades (por ejemplo, se puede querer tratar con la velocidad tangencial en lugar de con la velocidad tangencial multiplicada por un factor de escala); en las derivaciones, la base normalizada es menos común, ya que las expresiones son más complicadas.Para evitar confusiones, las componentes del vector x con respecto a la base ei se representan como xi, mientras que las componentes con respecto a la base ei se representan como xi: La posición de los índices representa cómo se calculan las componentes (los índices superiores no deben confundirse con los exponentes de una potencia).Téngase en cuenta que los símbolos del sumatorio Σ (sigma mayúscula) y el rango de la suma, que indica la suma de todos los vectores base (i = 1, 2, ..., d), a menudo son omitidos.Las componentes están relacionadas simplemente por: No existe una notación general que distinga y se utilice para las componentes vectoriales con respecto a la base normalizada.Es posible que se requieran consideraciones adicionales para otras operaciones con vectores.Sin embargo, debe tenerse en cuenta que todas estas operaciones suponen que dos vectores en un campo vectorial están ligados al mismo punto (en otras palabras, las colas de los vectores coinciden).Para las componentes en las bases covariantes o contravariantes, Esta expresión se puede deducir fácilmente escribiendo los vectores en forma de componentes, normalizando los vectores base y tomando el producto escalar.Por ejemplo, en 2D: donde se ha utilizado el hecho de que las bases covariantes y contravariantes normalizadas son iguales.Para construir el producto vectorial en coordenadas ortogonales con bases covariantes o contravariantes, simplemente se deben normalizar los vectores de la base, por ejemplo: que, escrito expandido, toma la forma La notación concisa para el producto vectorial, que simplifica la generalización a coordenadas no ortogonales y dimensiones superiores, es posible con el símbolo de Levi-Civita, que tendrá componentes distintas de ceros y unos si los factores de escala no son todos iguales a uno.Si se observa un desplazamiento infinitesimal desde algún punto, es evidente que Según su definición, el gradiente de una función debe satisfacer (esta definición sigue siendo cierta si ƒ es cualquier tensor) De ello se deduce que el operador gradiente debe ser: y esto sigue siendo cierto en coordenadas curvilíneas generales.Cantidades como el gradiente y el laplaciano se obtienen mediante la aplicación adecuada de este operador.en 3D es: Debe tenerse en cuenta que F1/h1 es la componente de F normal a la superficie.Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilmente en términos de estas componentes del tensor métrico.Además de las coordenadas cartesianas habituales, a continuación se tabulan varias otras.Por ejemplo, en el caso de las coordenadas esféricas, los tres intervalos de los parámetros que las definen son CA-CC-CA (siendo C cerrado y A abierto).