Coordenadas biesféricas
Las coordenadas biesféricas[1] son un sistema de referencia tridimensional ortogonal que resulta de rotar un sistema de coordenadas bipolares bidimensional sobre el eje que conecta sus dos focos.
en coordenadas bipolares siguen siendo puntos (en el eje
, el eje de rotación) en el sistema de coordenadas biesféricas.
La definición más común de las coordenadas biesféricas
( τ , σ , ϕ )
es igual al ángulo
es igual al logaritmo de la relación de las distancias
a los dos focos Los rangos de coordenadas son -∞ <
constante corresponden a toros de diferentes radios que se intersecan que pasan todos por los focos pero no son concéntricos.
constante son esferas de diferentes radios que rodean a los focos.
constante se encuentran en el eje
, mientras que los toros de
constante están centrados en el plano
x y
Las fórmulas para la transformación inversa son: donde
Los factores de escala para las coordenadas biesféricas
son iguales entre sí mientras que el factor de escala azimutal es igual a Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a y el laplaciano viene dado por Otros operadores diferenciales como
se pueden expresar en las coordenadas
( σ , τ )
sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas biesféricas son la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, como por ejemplo, la ecuación de Laplace, para la que las coordenadas biesféricas permiten emplear el método de separación de variables.
Sin embargo, la ecuación de Helmholtz no es separable en coordenadas biesféricas.
Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea dos esferas conductoras de radios diferentes.
