Coordenadas esferoidales oblatas

(La rotación sobre el otro eje produce un sistema de coordenadas esferoidales prolatas.)

Suelen ser útiles para resolver ecuaciones en derivadas parciales cuando las condiciones de contorno se definen en un esferoide o en un hiperboloide de revolución.

La definición más común de las coordenadas esferoidales oblatas

es un número real no negativo y el ángulo

puede caer en cualquier lugar de un círculo completo, entre

Estas coordenadas se prefieren sobre las alternativas a continuación porque no son degeneradas.

Las superficies de µ constante forman esferoides oblatos, según la identidad trigonométrica ya que son elipses rotadas sobre el eje z que separa sus focos.

Una elipse en el plano x-z (Figura 2) tiene un semieje mayor de longitud a cosh µ en el eje x, mientras que su semieje menor tiene longitud a sinh µ en el eje z. Los focos de todas las elipse en el plano x-z están ubicados en el eje x en ±a.

De manera similar, las superficies de ν constante forman semi-hiperboloides de revolución de una sola hoja por la identidad trigonométrica hiperbólica Para ν positivo, el semi-hiperboloide está por encima del plano x-y (es decir, tiene z positiva) mientras que para ν negativo, el semi-hiperboloide está por debajo del plano x-y (es decir, tiene z negativa).

Las coordenadas (μ, ν, φ) pueden calcularse a partir de las coordenadas cartesianas (x, y, z) de la siguiente manera.

El ángulo azimutal φ se obtiene mediante la fórmula El radio cilíndrico ρ del punto P se obtiene mediante y sus distancias a los focos en el plano definido por φ se obtienen mediante Las coordenadas restantes µ y ν se pueden calcular a partir de las ecuaciones donde el signo de µ siempre es no negativo y el signo de ν es el mismo que el de z. Otro método para calcular la transformada inversa es donde :

Los factores de escala para las coordenadas μ y ν son iguales mientras que el factor de escala azimutal es igual a En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a y el laplaciano se puede escribir como Otros operadores diferenciales como

se pueden expresar en las coordenadas (μ, ν, φ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales.

Los vectores base ortonormales para el sistema de coordenadas

es el vector normal externo a la superficie esferoidal oblata de

es el mismo vector unitario azimutal de coordenadas esféricas y

se encuentra en el plano tangente a la superficie esferoidal oblata y completa el conjunto de una base dextrógira.

A veces se utiliza otro conjunto de coordenadas esferoidales oblatas,

constante son esferoides oblatos y las curvas de

La relación con las coordenadas cartesianas es Los factores de escala para

son: Conociendo los factores de escala, se pueden calcular varias funciones de las coordenadas mediante el método general descrito en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

El producto de las tres soluciones se denomina armónico esferoidal oblato y la solución general de la ecuación de Laplace se escribe: Las constantes se combinarán para producir solo cuatro constantes independientes para cada armónico.

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales oblatas (σ, τ, φ), donde σ = cosh μ y τ = cos ν.

[1]​ Por lo tanto, la coordenada σ debe ser mayor o igual a uno, mientras que τ debe estar comprendida entre ±1, ambos valores inclusive.

tienen una relación simple con las distancias al anillo focal.

de sus distancias al anillo focal es igual a

Por lo tanto, la distancia lejana al anillo focal es

son mientras que el factor de escala azimutal es

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se puede escribir como y el laplaciano es igual a Otros operadores diferenciales, como

sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.

Figura 1: Isosuperficies de coordenadas para un punto P (mostrado como una esfera negra) en coordenadas esferoidales oblatas ( μ , ν , φ ) . El eje z es vertical y los focos están en ±2 . El esferoide oblato rojo (esfera aplanada) corresponde a μ = 1 , mientras que el semihiperboloide azul corresponde a ν = 45° . El acimut φ = −60° mide el ángulo diedro entre el semiplano verde xz y el semiplano amarillo que incluye el punto P . Las coordenadas cartesianas de P son aproximadamente (1.09, −1.89, 1.66)
Figura 2: Representación gráfica de las coordenadas esferoidales oblatas μ y ν en el plano x - z , donde φ es cero y a es igual a uno. Las curvas de constante μ forman elipses rojas, mientras que las de constante ν forman semihipérbolas cian en este plano. El eje z discurre verticalmente y separa los focos; las coordenadas z y ν siempre tienen el mismo signo. Las superficies de constantes μ y ν en tres dimensiones se obtienen por rotación alrededor del eje z , y son las superficies roja y azul, respectivamente, en la Figura 1
Figura 3: Isosuperficies coordenadas para un punto P (mostrado como una esfera negra) en las coordenadas esferoidales oblatas alternativas (σ, τ, φ). Como antes, el esferoide oblato correspondiente a σ se muestra en rojo, y φ mide el ángulo azimutal entre los semiplanos verde y amarillo. Sin embargo, la superficie de τ constante es un hiperboloide de una sola hoja, que se muestra en azul. Esto produce una degeneración doble, mostrada por las dos esferas negras ubicadas en ( x , y , ± z )