Coordenadas elipsoidales

Las coordenadas elipsoidales[1]​ son un sistema de referencia tridimensional ortogonal, que generaliza el sistema de coordenadas elípticas bidimensional.A diferencia de la mayoría de los sistemas de coordenadas tridimensionales ortogonales que emplean funciones cuadráticas, el sistema de coordenadas elipsoidales se basa en secciones cónicas confocales.se pueden obtener a partir de las coordenadas elipsoidalesmediante las ecuaciones donde se aplican los siguientes límites a las coordenadas En consecuencia, las superficies deconstante son elipsoides mientras que las superficies deconstante son hiperboloides de dos hojas porque los dos últimos términos en la parte izquierda de la ecuación son negativos.El sistema ortogonal de cuádricas utilizado para las coordenadas elipsoidales es confocal.Para que esto sea posible, se debe cumplir que Los cuadrados de las coordenadas se pueden determinar a partir de las tres ecuaciones anteriores: Las coordenadas se pueden representar con las tres funciones jacobianas básicas, seno–, coseno– o delta ampliada con el módulo elípticoen función de tres parámetros α, β y γ:[2]​: 663 En esta representación debe recordarse que θ≥0 y que{\displaystyle {\vec {r}}=(x,y,z)^{\top }}se expresan como que como es lógico son perpendiculares entre sí, y en este orden forman un sistema ortogonal.[3]​ Los factores métricos son las dimensiones de los vectores de base covariantes:[2]​: 663 En consecuencia, el sistema de coordenadas elipsoidal ortogonal es Los elementos de arco, área y volumen dan como resultado:[4]​: 18 [5]​ : 392 Para abreviar las ecuaciones siguientes, se introduce la función dondepuede representar cualquiera de las tres variablesUsando esta función, los factores de escala pueden escribirse como Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a y el laplaciano se define por Otros operadores diferenciales comosustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en el artículo dedicado a las coordenadas ortogonales.El punto de partida para el procedimiento es la matriz de Stäckel[4]​: 41 con el determinante y los menores Esto significa que las condiciones necesarias y suficientes para una fácil separabilidad están de acuerdo con la ecuación escalar de Helmholtz y Los factores de separaciónϕ ( η , θ , λ ) =y las constantes de separacióny en la ecuación de Laplace se cumple para[4]​: 6 Otro enfoque[2]​: 663  utiliza la matriz de Stäckel con el determinante y los menores Los factores de separaciónϕ ( η , θ , λ ) =y las constantes de separaciónresultan de las ecuaciones diferenciales Aquí también,para la ecuación de Helmholtz, y, surgen las mismas ecuaciones diferenciales del enfoque de Moon y Spencer.Las ecuaciones diferenciales determinadas con ambos métodos solo se diferencian en el tamaño de la constante de separaciónExiste una parametrización alternativa que sigue de manera parecida la parametrización angular de las coordenadas esféricas:[6]​ Aquí,parametriza los elipsoides concéntricos alrededor del origen yson los ángulos polares y azimutales habituales de las coordenadas esféricas, respectivamente.