Trayectoria ortogonal

El método estándar consiste en establecer una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y luego resolverla por separación de variables.Ambos pasos pueden ser difíciles o incluso imposibles; en tales casos, se deben aplicar métodos numéricos.Las trayectorias ortogonales son utilizadas en matemáticas, por ejemplo, como sistemas de coordenadas curvilíneos (e.g.coordenadas elípticas), o aparecen en física como campos eléctricos y sus curvas equipotenciales.Si la trayectoria se interseca con las curvas dadas en un ángulo arbitrario pero fijo, entonces se la conoce como trayectoria isogonal.Asumimos que la familia de curvas dada está expresada implícitamente por la ecuación dondeSi la familia de curvas está dada explícitamente por una ecuaciónPara los siguientes pasos, se asume que existen todas las derivadas necesarias.y obtener una ecuación diferencial de primer orden: Puesto que la pendiente de la trayectoria ortogonal en el puntoes el negativo del inverso multiplicativo de la pendiente de la curva dada en ese punto, la trayectoria ortogonal satisface la ecuación diferencial de primer orden Finalmente, la ecuación diferencial debe ser resuelta por un métoto adecuado.Para el ejemplo anterior, la separación de variables es adecuada, dando como solución (ecuación de las trayectorias ortogonales): Se conoce como trayectoria isogonal a una curva que se interseca en un ángulo fijode la trayectoria isogonal y la pendientePor tanto, la ecuación diferencial de las trayectorias isogonales es: Cuandose obtiene la condición para las trayectorias ortogonales.Este es un tipo especial de ecuación diferencial, que puede ser transformada mediante la sustituciónLuego de deshacer la sustitución, se obtiene la ecuación de las trayectorias isogonales: La anterior ecuación expresada en coordenadas polares es: la cual describe espirales logarítmicas (ver diagrama).