Las coordenadas cilíndricas parabólicas poseen incontables aplicaciones como, por ejemplo, en la teoría potencial de las aristas.Las coordenadas cilíndricas parabólicas (σ, τ, z) son definidas en términos de las coordenadas cartesianas (x, y, z) por: Las superficies con la constante σ forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones con concavidad vuelta para la dirección +y, mientras que las superficies con constante τ forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección −y.Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas parabólicas σ y τ son: El elemento infinitesimal de volumen es El desplazamiento diferencial está dado por: El área normal diferencial está dada por: Sea f un campo escalar., la ecuación de Laplace se podría escribir tal que: Ahora separamos las funciones S y T e introducimos otra constante, n2 para obtener: Las soluciones a esas ecuaciones son las funciones de cilindro parabólico Los armónicos del cilindro parabólico para (m, n) ahora son el producto de las soluciones.Un ejemplo típico sería el campo eléctrico en torno a una placa plana semi-infinita conductora.
Superficies coordinadas de las coordenadas cilíndricas parabólicas. El cilindro parabólico rojo corresponde a σ = 2, mientras el cilindro parabólico amarillo corresponde a τ = 1. El plan a
z
ul corresponde la z= 2. Estas su
p
erficies se cruzan al punto P (mostrado como una esfera negra), cuyas
coordenadas cartesianas
son aproximadamente (2, -1,5, 2).
Sistema de coordenadas parabólicas mostrando las curvas con σ y τ constantes. Los ejes horizontal y vertical son las coordenadas x y y, respectivamente. Tales coordenadas son proyectadas al largo del eje z, y así este diagrama valle para cualquier valor de la coordenada z
