Coordenadas hiperbólicas

Las líneas hiperbólicas de Q son rectas que parten del origen o curvas en forma de pétalo que salen y entran por el origen.

Caso se considere apenas a topología euclidiana del plano y la topología heredada por Q, entonces la frontera de Q parece próxima a P. El espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q posee apenas el origen como frontera, cuando es visto como el modelo cuadrante del plano hiperbólico.

La antigua frontera euclidiana de Q es irrelevante para el modelo cuadrante.

Relaciones con unidades físicas, como: todas sugiriendo un análisis cuidadoso de los ejes coordenados.

Hay muchas aplicaciones naturales de las coordenadas hiperbólicas en la economía: La unidad monetaria se define por

Grégoire de Saint-Vincent, Marin Mersenne y Alphonse Antonio de Sarasa evaluó la cuadratura de la hipérbola como una función con propiedades ahora familiarizadas con el logaritmo y luego con la función exponencial, el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico.

Como la teoría de la función compleja se refería a las séries infinitas, las funciones circulares seno y coseno parecían absorber el seno y el coseno hiperbólicos como dependientes de una variable imaginaria.

En el siglo XIX, los biquaterniones comenzaron a ser utilizados y mostraron un plano complejo alternativo llamado números hipercomplejos, donde el ángulo hiperbólico es llevado a un nivel igual al de un ángulo clásico.

En la literatura inglesa, los biquaterniones fueron utilizados para modelar el espacio-tiempo y mostrar sus simetrías.

Scott Walter[1]​ explica que en noviembre de 1907 Hermann Minkowski especuló sobre una conocida geometría tridimensional hiperbólica cuando habló con Göttingen Mathematical Society, pero no para una de cuatro dimensiones.