Cambio de base

Un cambio de base se define como una aplicación lineal que permite relacionar entre sí las coordenadas de un espacio vectorial expresadas respecto a dos bases distintas.Esta definición depende a su vez del concepto de base en álgebra lineal, que se caracteriza como un conjunto de elementos linealmente independientes entre sí que constituyen un sistema generador del espacio vectorial al que pertenecen.[4]​[5]​[3]​ Las representaciones matriciales de las aplicaciones que operan sobre los vectores también están determinadas por la base elegida.Esta transformación se denomina cambio de base.es su transposición y se obtiene el cambio de base comoAunque el símbolo R que se utiliza a continuación puede interpretarse como el campo de los números reales, los resultados son válidos si R se reemplaza por cualquier otro campo F. Aunque a continuación se usa la terminología de espacios vectoriales, los resultados discutidos son válidos siempre que R sea un anillo conmutativo, de forma que el término espacio vectorial podría ser reemplazado por el término R-módulo libre, manteniéndose la validez de las expresiones utilizadas.Es un hecho básico en álgebra lineal que el espacio vectorial Hom (Más adelante se hará uso de las propiedades siguientes: Seanes una función biyectiva además de lineal; en otras palabras,Un conjunto de vectores se puede representar mediante una matriz, en la que cada columna consta de las componentes del vector correspondiente del conjunto.Por ejemplo, los vectores cambian con su inverso (y por eso se denominan objetos contravariantes).Por esta razón, se dice que los vectores ordinarios son objetos contravariantes.Cualquier conjunto finito de vectores se puede representar mediante una matriz en la que sus columnas son las coordenadas de los vectores dados.Sirva como ejemplo en la dimensión 2, un par de vectores obtenidos al girar la base canónica 45° en sentido antihorario.La matriz cuyas columnas son las coordenadas de estos vectores es Si se quiere cambiar cualquier vector del espacio a esta nueva base, solo se necesita multiplicar por la izquierda sus componentes por la inversa de esta matriz.[9]​ Por ejemplo, sea R una nueva base dada por sus ángulos de Euler.Por tanto, esta matriz será (véase el artículo dedicado a los ángulos de Euler): Nuevamente, cualquier vector del espacio puede cambiarse a esta nueva base multiplicando a la izquierda sus componentes por la inversa de esta matriz.para i = 1, …, n, y donde los ei son n-tuplas con la componente i igual a 1 y todas las demás componentes iguales a 0.Dado que esta aplicación es un automorfismo en Kn, entonces tiene una matriz cuadrada asociada C. Además, la columna i de C esTeorema: supóngase que U, V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que se elige una base ordenada para cada uno.Si T : U → V y S : V → W son transformaciones lineales con matrices s y t, entonces la matriz de la transformación lineal S ∘ T : U → W (con respecto a las bases dadas) es st.La matriz de la aplicación lineal T es necesariamente cuadrada.La matriz de Gram G adjunta a una baseSin embargo, hay casos en álgebra asociativa en los que un cambio de base es suficiente para convertir una oruga en una mariposa (en sentido figurado): En el ejemplo siguiente se desarrollan las operaciones que es preciso realizar para poder pasar las coordenadas de un vector bidimensional V (representado en color verde) entre dos bases de coordenadas denominadas a (representada en color azul) y r (en color rojo).Se definen en un sistema de referencia canónico (normalmente un sistema de coordenadas cartesiano), las coordenadas del vector V y de los vectores que forman las dos bases (a y r): En primer lugar, se van a calcular las coordenadas del vector V en la base azul.Para ello, basta saber que el producto de la matriz [A] formada por las coordenadas de los vectores de la base azul dispuestos en columna, multiplicadas por las coordenadas buscadas [VA], se corresponden con las coordenadas del vector V en la base canónica.Esto se traduce en la igualdad [A] * [VA] = [V], donde se despeja [VA] multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz [A]-1, inversa de [A], de forma que: (para la base roja, el procedimiento es exactamente el mismo, sustituyendo la base azul por la roja).Para ello, basta pasar las coordenadas de origen a la base canónica, y desde esta a la base de destino.Por ejemplo, para pasar de la base azul a la roja las coordenadas del vector V, basta con multiplicar la matriz [A] por el vector [VA] para obtener las coordenadas de V en la base canónica, y luego multiplicar [R]-1 por el resultado de la operación anterior.La matriz [A⇒R] = [R]-1 * [A], permite transformar las coordenadas desde la base azul a la roja: de forma que: De forma análoga, para pasar de la base roja a la azul las coordenadas VR del vector V, se tiene que la matriz [R⇒A] = [A]-1 * [R], permite transformar las coordenadas desde la base roja a la azul: de forma que Supongamos ahora que se quiere transformar las coordenadas desde la base canónica a otra base ortonormal obtenida al girar aquella un ángulo